3.2 Качество оценок и критерии оптимальности измерения параметров.

Наличие помех приводит к отличию точечной оценки * от истинного значения параметра . При этом показателем качества является статистически усредненное значение ошибки измерения ε=*-. Если приняты меры по исключению грубых промахов и систематических ошибок, то ошибки измерения сводятся только к случайным.

Математическое ожидание ошибки =М[α*- α]позволяет определить наличие или отсутствие систематической ошибки. Если =0, т.е. , оценка называется несмещенной, что свидетельствует об отсутствии систематической ошибки. При , т.е. , оценка называется смещенной, что является результатом действия не устраненной систематической ошибки. Если при неограниченном числе измерений (n→∞) оценка α* стремится к α, то такая оценка называется состоятельной.

Показателями качества измерения являются:

1. Среднеквадратичная ошибка:

ε²_скв= ,

где p(ε) – одномерная плотность распределения ε.

2. Вероятная (средняя) ошибка ε_вер, соответствующая такому значению ε= ε_вер, которое делит площадь под кривой p(ε) пополам,

p(ε)

P(│ε│≤ ε_вер)

P(│ε│≤ ε_вер)= P(│ε│≥ ε_вер)=0,5

3. Максимальная ошибка ε_мах – такая, вероятность превышения которой по модулю меньше 0,8%. Интервал 2ε_мах называется доверительным интервалом.

В случае центрированного гауссовского закона распределения случайных ошибок однозначно связаны соотношениями

ε_вер≈ ε_скв; ε_мах= ε_скв≈4ε_вер

1

0,992

0,67

ε_вер

ε

ε_скв

0,5

ε_мах

4. Дисперсия ошибки D_ε=M[( )]= .

В случае несмещенной оценки и D_ε= =ε²_cкв. Желательно, чтобы дисперсия оценки была как можно меньше. Оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных оценок, называется эффективной.

5. По аналогии с теорией статистических решений в задачах обнаружения в качестве фундаментального критерия измерения может быть принят средний риск ошибки измерения:

(3.1)

где p(α, α*) – совместная плотность вероятности значения оценки α* и истинного значения α, т.е. p(α, α*)dαdα* - элемент вероятности произвольной ситуации соответствия α * и α; r(α, α*) – функция стоимости ошибки для ситуации (α, α*). Оптимизация выбора оценки α* сводится, как и в теории обнаружения, к минимизации среднего риска .

Минимизация связана с перебором большого числа ситуаций (α, α*). Чтобы уменьшить это число, сопоставление α и α* производят при одном из двух упрощающих предположений: измеряемая величина α считается не случайной; измеряемая величина α случайна, но известна плотность вероятностей ее значений p(α).

Первый подход соответствует классической теории оценивания, при которой не требуется знания функций распределения. Задача сводится к введению критерия несмещенности оценки , т.е. устраняется систематическая ошибка без оценки случайной или функциональной ошибки (метод наименьших квадратов).

В системах локации, в том числе в системах … неразрушающего контроля и медицинской диагностики, предпочтение отдается второму подходу - байесовской теории оценок, которая позволяет по доопытному – априорному распределению p(α) и выбранной функции стоимости ошибки r(α,α*) создать единообразную методику оптимизации оценок.