5.7 Основы гомоморфной обработки сигналов

Рассмотренные нами ранее методы обработки сигналов относились к ситуации, когда имеется сумма нескольких сигналов, в простейшем случае – двух сигналов, например, аддитивная смесь сигнала и помехи. Однако в ряде случаев полный сигнал на входе цепи является произведением или сверткой двух сигналов. Оказывается, что и этом случае можно осуществить обработку, подчиняющуюся принципу суперпозиции, однако эта обработка будет является сочетанием специально подобранных нелинейных и линейных операций. Подобная обработка называется гомоморфной.

Линейные системы не позволяют осуществить раздельную обработку сигналов, входящих в произведение или образующих свертку. Иными словами, по отношению к сигналам s(t)=s₁(t)s₂(t) или s(t)=s₁(t)s₂(t) неприменим принцип суперпозиции в том виде, в котором он сформулирован для линейных систем. Однако, с помощью сочетания линейных и некоторых нелинейных элементов можно осуществить систему, подчиняющуюся обобщенному принципу суперпозиции.

Рассмотрим для примера обработку мультипликативного сигнала s(t)=s₁(t)s₂(t) и поставим перед собой задачу преобразования его к виду суммы х(t)=х₁(t)+х₂(t). Искомый оператор преобразования обозначим символом Д. Математически эта задача сводится к требованию:

Д[s(t)]=Д[s₁(t)s₂(t)]=Д[s₁(t)]+ Д[s₂(t)] (5.44)

Единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей этому уравнению, является логарифмическая функция. Таким образом, оператор Д соответствует логарифму и нелинейное устройство, осуществляющее требуемое преобразование, должно иметь характеристику х= Д(s)=log(s).

Сигнал на выходе этого устройства:

х(t)=log[s(t)]=log[s₁(t)s₂(t)]= log[s₁(t)]+log[s₂(t)]=x₁(t)+x₂(t) (5.45)

Для упрощения мы рассмотрели действительные и ненулевые функции s₁(t)>0, s₂(t)>0.

По частному спектру и по форме x₁(t) и x₂(t) отличаются и s₁(t) и s₂(t). Но их сумму х(t)=х₁(t)+х₂(t) можно обрабатывать (фильтровать) с помощью обычной линейной цепи.

Пусть y₁(t) и y₂(t) – сигналы на выходе линейного фильтра, на входе которого действует х(t)=х₁(t)+х₂(t). Можно считать, что y₁(t) и y₂(t) - логарифмы выходных сигналов s_1вых(t) и s_2вых(t). Тогда возникает задача, обратная (5.45) – перейти от суммы y₁(t)+y₂(t) к произведению s_вых(t)= s_1вых(t) s_2вых(t).

Преобразование, обратное логарифмированию – потенцирование. Его оператор обозначим Д^-1. Тогда s_вых(t)= Д^-1(y), так что:

(5.46)

В результате приходим к структурной схеме устройства обработки:

Применение подобной обработки целесообразно в тех случаях, когда с помощью линейного устройства L возможно разделять по частотному принципу сигналы х₁(t) и х₂(t) и изменять в желательном направлении соотношение между сигналами y₁(t) и y₂(t).

Пусть, например, спектры функций y₁(t) и y₂(t) не перекрываются, и линейный фильтр пропускает только сигнал y₁(t). Тогда:

(5.47)

Таким образом можно получить разделение сигналов.

Система, представленная на рисунке, в целом подчиняется обобщенному принципу суперпозиции по отношению к сигналу s(t)=s₁(t)s₂(t), т.к. в этой системе между s₁(t) и s₂(t) отсутствует взаимодействие и соотношение между s_1вых(t) и s₁(t) и s_2вых(t) и s₂(t) определяется только линейным устройством L.