3 Спектры сигналов

Все сигналы могут быть подразделены на периодические и непе­риодические. Периодическим называется сигнал, значения которого повторяют­ся через определенные равные промежутки времени, называемые периодом повторения сигнала (Т), или просто периодом. Для непериоди­ческого сигнала это условие не выполняется.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое ко­лебание (рисунок 8, а):

s(t) = S sin(t),

где S,  - соответственно амплитуда и угловая частота колебания, равная

 = 2f = 2 / Т.

s(t)

Рисунок 8 – Простейшие периодические сигналы

Другим примером периодического сигнала является последова­тельность прямоугольных импульсов (рисунок 8, б). Можно показать, что такая последовательность импульсов является результатом сложения большого числа гармонических колебаний (в общем случае – бесконечного) с разными амплитудами, частотами и начальными фазами.

На рисунке 9 показан процесс синтеза последовательности прямоугольных импульсов с использованием гармонических колебаний. В качестве исходной синусоиды вы­берем такую, у которой период колебаний совпадает с периодом Т прямоугольных импульсов (рисунок 9, а, б):

s(t) = S₁ sin(₁t),

Колебание заданной частоты ₁ и амплитуды S₁ можно представить в виде графика: на оси частот отметить значение ₁ и изобразить вертикальную линию высотой, равной амплитуде сигнала S₁ (рисунок 9, б).

Следующая синусоида имеет частоту колебаний в 3 раза боль­шую, а амплитуду – в 3 раза меньшую. Сумма этих двух синусоид пока еще ма­ло похожа на прямоугольные импульсы (рисунок 9, в). Но если до­бавить к ним синусоиды с частотами колебаний в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз большими, а с амплитудами в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз меньшими, то сум­ма всех этих колебаний будет не так уж сильно отличаться от последовательности прямоугольных импульсов.

Рисунок 9 – Периодическая последовательность прямоугольных

импульсов (а) и формирование ее сигнала (б – д)

Может показаться, что представление прямоугольных импульсов в виде совокупности синусоид есть не более чем математический при­ем и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Радиоинженерам хорошо знакомы приборы (они называются анали­заторами спектров), которые позволяют выделить каждую входящую в сложный сигнал синусоиду.

Тот факт, что сигнал произвольной формы (а не только прямоугольные импульсы) можно разложить на сумму обыкновенных синусоид, доказал в 20-х годах XIX века французский математик Ж. Фурье. Такой набор синусоид получил название спектра сигнала.

Каждый сигнал имеет свой сугубо индивидуальный спектр. Гармонические колебания, составляющие спектр сигнала, называются гармоническими составляющими сигнала или просто гармониками.

Линии (рисунок 9) на графике, соответствующие амплитудам гармоник, называются спектральными линиями. Распределение амплитуд гармоник по частоте называется спектром амплитуд сигнала.

Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных спек­тральных линий, его называют дискретным (или линейчатым).

Частота первой гармоники сигнала определяется, как показано выше, периодом сигнала: ₁ = 2 / Т. Если период сигнала оставить неизменным, а изменять только длительность импульсов  (рисунок 10, а и в), то частота первой гармоники будет той же самой для обоих сигна­лов. Изменится скорость убывания амплитуд гармоник (рисунок 10, б и г). Чем короче импульс, тем медленнее убывают амплитуды гармоник и тем соответственно, большим числом гармоник следует представ­лять прямоугольные импульсы, чтобы сохранить достаточную степень их «прямоугольности».

Рисунок 10 – Изменение спектра амплитуд при уменьшении

длительности импульсов

Существует очень важное понятие – практическая ширина спек­тра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармо­ники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства будет искаженным. Таким образом, можно сказать, что шири­на полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спек­тра сигнала.

Что же следует считать шириной спектра сигнала, если число гар­моник в сигнале бесконечно? Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала. Например, мож­но отбрасывать все гармоники с амплитудами меньшими 1 % макси­мальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала. Можно отбрасывать те гармони­ки, суммарная энергия которых меньше 10 % общей энергии сигнала. В этом случае ширину спектра также определяют оставшиеся в сиг­нале гармоники.

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов за­кономерности: чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

На практике при использовании в качестве сигналов прямоугольных импульсов в качестве ширины спектра сигнала чаще всего принимается диапазон частот от  = 0 до  = 2 / .

Все, что сказано выше, относится к периодическим сигналам (в частности, к бесконечной последовательности прямоугольных импульсов).

Непериодический сигнал легко получить из периодического, увели­чивая период вплоть до Т . При увеличении периода сигнала частота первой гармоники ₁ = 2 / Т понижается. Спектральные линии становятся гуще. Ампли­туды гармоник уменьшаются. Последнее становится понятным, если учесть, что энергия сигнала, оставаясь неизменной, перераспреде­ляется теперь между возросшим числом гармоник. Естественно, доля каждой гармоники в сигнале падает.

Следовательно, при переходе к непериодическому сигналу (нап­ример, к одиночному импульсу) мы получаем в спектре такого сигнала вместо отдельных гармоник бесконечно большое число синусоидаль­ных колебаний с бесконечно близкими частотами, заполняющими всю шкалу частот. Причем амплитуда каждого такого колебания становит­ся исчезающе малой, потому что на его долю приходится бесконечно малая часть энергии сигнала. Другими словами, в любой бесконечно узкой полосе частот мы всегда обнаружим синусоидальное колеба­ние, правда, бесконечно малой амплитуды.

Понятие спектра амплитуд в последнем случае лишено смысла и заменяется понятием спектральной плотно­сти амплиту (рисунок 11), которая указывает, по сути, на удельный вес беско­нечно малой амплитуды синусоидального колебания в любой беско­нечно узкой полосе частот.

Таким образом, спектр непериодического сигнала является в общем случае не дискретным, а непрерывным.

Рисунок 11 – Спектральная плотность амплитуд одиночного

прямоугольного импульса длительностью 

Ранее отмечалось, что при передаче данных в сетях кроме импульсных сигналов используются модулированные колебания.

Спектр результирующего модулированного сигнала зависит от типа модуляции и скорости модуляции, то есть желаемой скорости передачи бит исходной информации.

Рассмотрим сначала спектр сигнала при потенциальном кодировании. Пусть логическая единица кодируется положительным потенциалом, а логический ноль – отрицательным потенциалом такой же величины. Для упрощения вычислений пред­положим, что передается информация, состоящая из бесконечной последователь­ности чередующихся единиц и нулей. В этом случае в течение одного периода передается два бита данных.

Если дискретные данные передаются с битовой скоростью N бит/с, то спектр состоит из постоянной составляющей нуле­вой частоты и бесконечного ряда гармоник с частотами f₀, 3f₀, 5f₀, 7f₀, ..., где f₀ = N/2. Амплитуды этих гармоник убывают достаточно медленно – с коэффициентами 1/3, 1/5, 1/7, ... от амплитуды гармоники f₀ (рисунок 12, а). В результате спектр потенци­ального кода требует для качественной передачи широкую полосу пропускания. Кроме того, нужно учесть, что реально спектр сигнала постоянно меняется в зави­симости от того, какие данные передаются по линии связи. Например, передача длинной последовательности нулей или единиц сдвигает спектр в сторону низких частот, а в крайнем случае, когда передаваемые данные состоят только из единиц (или только из нулей), спектр состоит из гармоники нулевой частоты.