47. Виды представления статистического эксперимента (вариационного ряда): полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

Статистический(вариационный) ряд – это таблица, в которой перечислены варианты в порядке возрастания и указаны соответствующие им частоты.

Для графического изображения статистического ряда частот служит ломаная в прямоугольной декартовой системе координат с вершинами в точках - называемая полигоном частот, или ломаная с вершинами в точках - называемая полигоном относительных частот. Здесь - возможные значения вариант, - частота, т. е. количество появления варианты, - объем выборки. При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы (разряды), представляя результаты опытов в виде сгруппированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на непересекающихся интервалов, обычно одинаковой длины .

Для графического изображения сгруппированной выборки служит ступенчатая фигура из прямоугольников, называемая гистограммой. Для построения гистограммы на оси откладываются интервалы длины , которые служат основаниями прямоугольников, а их высоты определяются отношением , если мы строим гистограмму частот, или , если мы строим гистограмму относительных частот

Эмпирической функцией распределения выборки называют функцию F^*(x), которая для каждого значения x определяет относительную частоту событий {X < x }.

F^*(x) = ( n_x / n ) , где n_x - число вариант, которые меньше x, n - объем выборки.

Эмпирическая функция обладает следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку (0; 1].

С в о й с т в о 2. F*(x )— неубывающая функция.

С в о й с т в о 3. Если X1—наименьшая варианта, а хk — наибольшая, то F*(x)=0 при x<X1 и F*(x) = l при х > хk

48. Точечная оценка параметра. Понятия несмещенной, эффективной и состоятельной оценки параметра.

49. Выборочная средняя, доказательство ее несмещенности.

Def: выборочной средней называется среднее арифметическое выборки.

(2)

Теорема: выборочная средняя является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания .

Доказательство.

M( = M(

несмещенная состоятельная асимптотическая нормальная. Коэф. , поэтому несмещенная.

50. Выборочная дисперсия, доказательство ее смещенности. Исправленная дисперсия.

51. Точечная оценка параметров распределения вероятностей СВ методом моментов. Продемонстрировать работу метода на примере оценки параметра показательного закона.

52. Точечная оценка параметра методом максимального правдоподобия. Продемонстрировать работу метода на примере биномиального распределения

53. Продемонстрировать работу метода максимального правдоподобия при оценки параметра показательного распределения.

54. Методом максимального правдоподобия оценить параметры нормального распределения.

55. Понятие надежности (доверительной вероятности) оценки параметра. Доверительный интервал.

Надежностью (доверительной вероятностью)оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это неравенство двойным неравенством – δ < Θ* - Θ < δ, то получим:

p ( Θ* - δ < Θ < Θ* + δ ) = γ.

Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал ( Θ* - δ, Θ* + δ).

Доверительным называется интервал Iγ , в который с заданной

вероятностью (надежностью) γ попадают значения параметра Q. Вероятность γ

выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.