44. Условные математические ожидания составляющих двумерной св. Зависимые и независимые св.

Условным математическим ожиданием ДСВ Y при условии, что ДСВ Х приняла значение равное х, называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности, т.е.:

.

Для непрерывных случайных величин:

.

Зависимые и независимые случайные величины

Определение: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая величина.

Теорема 1: Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми необходимо, чтобы функция распределения двумерной случайной величины (X,Y) была равна произведению функции распределения составляющих X и Y , т.е.

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y)

Доказательство:

Необходимость: Пусть случайные величины X и Y независимы, тогда независимы события {X<x}, {Y<y}.

Используя теорему о произведении вероятности независимых событий получим:

P(X<x, Y<y) = p(X<x)*p(Y<y) , то

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y).

Достаточность:

Пусть F(x,y) = F₁(x) * F₂(y) , отсюда

P(X<x, Y<y) = p(X<x)*p(Y<y)

Получили, что вероятность совместного свершения событий равна произведению вероятностей этих событий. Это значит, что независимы события {X<x}, {Y<y}, независимы X,Y , теорема доказана.

Теорема 2: Для того, чтобы две непрерывные случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность их совместного распределения была равна произведению плотностей распределения каждой из них, т.е.

f(x,y) = f₁(x) * f₂(y) .

Доказательство:

Необходимость Если X и Y независимы, то по первой теореме

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y) .

Продифференцируем (возьмем производную) последнее равенство по x и y последовательно:

,

.

Достаточность:

Пусть f(x,y) = f₁(x) * f₂(y) . Проинтегрируем это равенство попеременно по x и y, получим:

, то

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y) . Тогда по первой теореме из данного равенства следует, что случайные величины X и Y независимы.

Что и требовалось доказать.

45. Корреляционный момент и коэффициент корреляции составляющих двумерной св.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения их отклонений.

Для дискретных величин

Для непрерывных величин

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен 0

Коэффициентом корреляции независимых случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин (корень из дисперсии).

Коэффициент корреляции—безразмерная величина, причем Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы

Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

46. Основные понятия математической статистики: генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки.

Статистика разрабатывает методы сбора данных и группировки по умолчанию. Задачи мат стат.: 1) указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез-те наблюдения за случ. процессами; 2) разработка методов анализа стат. данных в зависимости от цели исследования.

Генеральной совокупностью опыта наз. множ-во объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупностью или просто выборкой наз. совокупность случайно отобранных объектов.

{х1, х2, …, хn} n-объём выборки

Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) наз. число объектов этой совокупности.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной наз.выборку, при к-ой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается