- •Определение системы координат на прямой линии, и прямоугольных систем координат на плоскости и в пространстве.
- •2. Определение полярных координат на плоскости - . Связь полярных координат с координатами в прямоугольной системе координат.
- •4. Геометрический смысл и физический смысл линейных операций с векторами: сумма векторов , и умножение вектора на вещественное число .
- •7.Определение линейной зависимости совокупности векторов , ,…, : привести два определения и показать их равносильность.
- •8.Определение базиса для векторов, расположенных на плоскости и в пространстве. Что значит – базис ортогональный?
- •9.Определение, физический смысл и основные свойства скалярного произведения векторов , . Вычисление скалярного произведения.
- •3. Определение определителя 3-го порядка как обобщение записи определителя 2-го порядка и геометрической схемы (правила) формирования членов определителя, то есть его вычисления.
3. Определение определителя 3-го порядка как обобщение записи определителя 2-го порядка и геометрической схемы (правила) формирования членов определителя, то есть его вычисления.
Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Данная формула получила название правила треугольников или правило Сарруса.
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой, показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:
4. . Свойства определителя 3-го порядка, вытекающие из принятого правила его вычисления. Вычисление определителя 3-го порядка разложением по столбцу (строке).
а)Свойство 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка равны нулю, то и определитель равен нулю.
Свойство 2. Определитель 3-го порядка не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.
Свойство 3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя 3-го порядка, то обсолютная величина определителя не изменится, а знак изменится на противоположный.
Следствие. Определитель 3-го порядка, в котором каких-либо две строки (столбца) совпадают, равен нулю.
Свойство 4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка умножить на какое-либо число, то и определитель умножится на это число.
Следствие 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
Следствие 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца) этого определителя, то определитель равен нулю.
Свойство 5. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка представляет собой сумму двух слагаемых, то и определитель можно представить в виде суммы двух слагаемых, например:
a1b1c1 + d1 a1b1c1 a3b3c3
a2b2c2 + d2 = a2b2с2 + a2b2d2
a3b3c3 + d3 a3b3c3 a3b3d3
б)Если D = |A| - определитель порядка n, то минором Mij элемента аij называют определитель порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Под алгебраическим дополнением Aij элемента аij понимают минор Mij, домноженный на (-1)i+j, т.е. Aij = (-1)i+jMij
5.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид
(7)
Определитель
(8)
составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
1. Если определитель системы , то система (7) имеет решение, и притом единственное. Это решение находится по формулам
(9)
Из этого заключаем, что значение неизвестного системы (7) равно дроби, знаменатель которой есть определитель системы, а числитель есть определитель, получающийся из определителя системы заменой в нем столбца из коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом свободных членов.
Определители, стоящие в числителях дробей (9), будем обозначать соответственно через Dx, Dy, Dz.
2. Если D = 0, но, по крайней мере, один из его миноров и хотя бы один из определителей Dx, Dy и Dz не равен нулю, то система (7) решений не имеет. В этом случае говорят, что она противоречива, или несовместна.
3. Если D = 0 и все определители, стоящие в числителях дробей (9), - Dx, Dy, Dz - равны нулю, т. е. если
D = Dx = Dy = Dz = 0,
но хотя бы один из миноров в определителе D не равен нулю, то одно уравнение системы (7) является следствием двух других, и система трех уравнений (9) приводится к двум уравнениям, причем решения этих двух уравнений удовлетворяют третьему. В этом случае система (9) имеет бесконечное множество решений и называется неопределенной.
4. Если же все миноры в определителе D равны нулю, но хотя бы один из миноров в каком-нибудь из определителей Dx, Dy, Dz не равен нулю и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система несовместна и решений не имеет.
5. Если в определителях D, Dx, Dy, Dz все миноры равны нулю, но хотя бы один из коэффициентов при неизвестных нулю не равен, то два уравнения системы являются следствием третьего, и система трех уравнений приводится к одному уравнению, является неопределенной и имеет бесконечное множество решений, причем решения этого третьего уравнения удовлетворяют первому и второму уравнениям.