Аналитическая геометрия

1. Определение системы координат на прямой линии, и прямоугольных систем координат на плоскости и в пространстве.

а) Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

б) Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OY вверх, ось OX смотрела направо.

в) Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

2. Определение полярных координат на плоскости - . Связь полярных координат с координатами в прямоугольной системе координат.

а)Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

б) Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x = cos ,

y = sin ,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату :

r² = y² + x² (по теореме Пифагора).

3.Определение геометрического вектора, вычисление его длины (модуля) для случаев задания: начальной и конечной точками; и в виде = = .

а) Геометрическим вектором а называется множество всех направленных векторов, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор a (получен приложением вектора a к точке А). Длинна отрезка называется длинной (модулем) вектора а и обозначается символом . Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается символом 0.

б) Зная координаты начала и конца вектора, мы можем вычислить координаты вектора по формуле:

Зная координаты вектора модуль вектора вычисляется по формуле :