Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shporki_1-40.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
348.29 Кб
Скачать

1. Предмет и задачи теории вероятностей. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Теорема о числе комбинаций. Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая закономерности,возник. в случайных явлениях. Объектами изучения теории вероятностей являются случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления.Эл-ты комбинаторики:сочетание- наборы,составленные из n разл-х эл-в по m, кот отлич-ся хотя бы 1 эл-м Разменщение- наборы,сост-е из n различных эл-в по m эл-м,кот отлич.либо составом, либо порядком Перестановки- наборы,сост-е из одних и тех же n разл-х эл-в, и отлич. тольео порядком их распред-я. , Решение большинства комбинаторных задач основано на применении двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы: Если элемент А можно выбрать т способами, а элемент В – п способами (причем, ни один из способов выбора элемента А не совпадает со способом выбора элемента В), то выбрать А или В можно т + п способами.Правило произведения: Если элемент А можно выбрать т способами и после каждого такого выбора элемент В можно выбрать п, то выбрать упорядоченную пару (А,В) можно тхп способами.

6. Зависимые и независимые события. События независимые в совокупности. Попарно независимые события. Если при наступлении события А вероятность события В не меняется, то события А и В и называются независимыми.Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В (произведения А и В ) равна произведению вероятностей этих событий: P(A B)=P(A) P(B).Следствие: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:.

Соб. ,…, наз-ся независимыми в совок-ти, если для любых соб-й , ,…, , k n, вер-ть .Соб. ,…, наз-ся попарно независ-ми, если , i j= .

12. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства. Плотность распределения вероятностей случайной величины, являющейся функцией случайной величины.Если существует такая неотрицательная функция f(t), что функция распределения F(x) для каждого

х (-∞, ∞) представима в виде

F(x) = -∞x f(t)dt, то f(x) называется плотностью распределения случайной величины Х . Плотность распределения непрерывной случайной величины Х можно опре­делить так:

f(x) = F/(x). Свойства плотности распределения:

1) ∫+∞-∞f(x)dx=l;

2) P(a≤X<b)= ∫ ba f(x)dx.

Пример 1. Стрелок трижды стреляет в мишень. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Построить закон и функцию распределения случай­ной величины Х - числа промахов при 3 выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию Х

2. Случайные события. Операции над событиями, их свойства. Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления.Вероятность случайного события , обозначаемая – числовая мера степени возможности появления данного события при определенных условиях. При этом всегда .Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдет. Его вероятность равна единице. Событие называется невозможным, если в результате опыта оно не может произойти; его вероятность равна нулю. Суммой нескольких событий называется событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. Несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться одновременно . ( ) Сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или или оба события одновременно. Пересечением или произведением событий А и В наз- событие состоящее в том ,что произошли оба события А и В одновременно т.е. А,В ,есть множество содержащее элементарные исходы входящие в А и в В одновременно . (множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В) разность событий

1) 2)

3) 4)

5) 6) 7)

8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

17)

18)

19) 20)

21) А(В-С)=(АВ)-(АС)

3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятностей. Формула сложения вероятностей. Несовместные события. Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания: ,где – число благоприятствующих событию исходов; – общее число возможных исходов. Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы. Простейшие свойства вероятностей: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;5) .Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .Два события называются несовместными (несовместимыми), если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

23. Геометрическое распределение и его числовые характеристики. Закон распределения дискретной случайной величины называют геометрическим, поскольку – формула расчета -го члена геометрической прогрессии, с первым членом и знаменателем ( ). Несложно убедиться в том, что выполняется условие нормировки:

Случайная величина называется распределенной по закону геометрической прогрессии с параметром , если может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле: , где .

4. Геометрическое определение вероятности. Примеры задач на геометрическую вероятность. Геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Расс-м какую-либо обл-ть .Предп-м,что мера конечна.пусть случ. эксперимент сос-т в том,что мы наудачу бросаем в эту об-ть точку.Термин «наудачу» здесь озн-т,что вер-ть попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от меры области A. Тогда вероятность того,что точка попадёт в А: где - мера обл. A.

Пример1. Точка бросается наудачу на отрезок [0;1].Вероятность точки попвсть в 0.5 равна 0,т.к.мера мн-ва,сост-го из 1 точки(в данном случае длина есть 0).Вместе с тем попадание в т. 0.5 не явл. невозможным событием,т.к это один из элементарных исходов эксперимента. Пример2.На отрезок АВ длины 1 см. наудачу бросается точка.Н-ти вер-ть того,что эта точка будет ближе к концам отрезка, чем его середине.

Пример.Парадокс Бертрана.

В круге 1-го радиуса наудачу выбир-ся хорда.Какова вероятность того, что её длина будет больше,чем длина стороны,вписанного в круг правильного треугольника.

Парадокс заключается в некорректной формулировке условия задач с математ. точки зрения. «Выбор наудачу хорды круга» может быть описан с пом. геометрич. опред-я вероятности, т.е. этот «эксперимент» можно по-разному описать с пом. выбора наудачу точки в некот. обл.Здесь слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно:Сказав: «В круге наудачу выбирается хорда» мы ещё не описали физич. эксп-та.Парадокс исчезает сразу, как только получим ответ на вопрос: «Что то значит:в круге выбирается хорда?»

5. Условные вероятности, их свойства. Формула сложения условных вероятностей, формула умножения вероятностей. Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло другое событие с вер-тью Р(В)≠0, называется условной вероятностью события и обозначается Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В) Вероятность появления события при этих новых условиях называется его условной вероятностью в отличие от вероятности , которая может быть названа безусловной вероятностью события .В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других события и , спользуется условная вероятность относительно произведения событий В и С: .Св-ва услов. вер-тей: 1.Р(Ω∕В)=1 2.Р(∅/В)=0 3.А⊂С⟹Р(А/В)≤Р(С/В) 4.Р(А ̅/В)=1-Р(А/В) 5.0≤Р(А/В)≤1 6.Формула умножения вероятностей:Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место: , Р(А)≠0, Р(В)≠0Общ. ф-ла умнож-я вер-тей: Формула сложения услов. вер-тей: Р(А+С/В)=Р(А/В)+Р(С/В)-Р(АС/В)

9. Схема Бернулли последовательных испытаний. Формула Бернулли и ее следствие. Наивероятнейшее число наступлений события.

Схема Бернулли заключ. в след.: проводится n последовательных испытаний, которые: независимы; в любом испытании возможны только 2 исхода (A и ); вероятности этих исходов постоянны и не изменяются от испытания к испытанию.

Под независимыми понимаются такие эксперименты, в которых любые события, возникающие в разных экспериментах, являются независимыми в совокупности.

p = P(A) q = P( ) = 1 – p

Наступление события A обычно называют успехом, а ненаступление – неудачей.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что в схеме Бернулли из n испытаний успех наступит ровно m раз равна

(m) =

Следствие: Пусть m1 и m2 Z, n. Тогда вероятность того, что в схеме Бернулли успех наступит не менее m1 и не более m2 раз в n испытаниях равна

Определение: Число наступлений события A (успеха) называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события A любое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях схемы Бернулли заключено между числами и . При этом, если , то наивероятнейших чисел два, а именно и .

16. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и моменты непрерывной случайной величины. Мода и медиана непрерывной случайной величины. Неравенство Коши-Буняковского. Дисперсией непрерывной СВ наз-ся значение интеграла:

.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной СВ - корень квадратный из дисперсии:

.

Мода ( ) непрерывной СВ – значение, кот соответствует максимальное знач ее плотности вероятности.

Медианой ( ) непрерывной СВ - значение, кот опр равенством:

.

Нерав-во Коши-Буняковского: для любых СВX и Y

M(|X Y|)≤(M(X2))1/2 (M(Y2))1/2

8.Формула полной вероятности и формула Байеса.

Формула полной вероятности:

Пусть H1…Hn – полная группа событий и P(Hi)>0, i=1,n⁻⁻, тогда для любого события А

Р(А)= )

Формула Байеса:

Пусть дана полная группа событий H1,…,Нn и некоторое событие А, тогда для любых К от 1 до n условная вероятность события Нк при условии, что произошло событие А вычислится по формуле

Р(Нк/A)=

11. Понятие случайной величины(СВ) и ее закона распределения. Функция распределения случайной величины и ее свойства. График функции распределения случайной величины.. Случайной величиной наз-ся переменная величина, к-рая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой ( ), ее конкретные значения – строчными буквами ( ).СВ делятся на дискретные и непрерывные, выделяют также смешанные 1) Величина наз-ся дискретной, если она м. принимать определенные, фиксированные значения. 2) СВ вназывается непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.Законом распределения СВ называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .закон. Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения. Функция

F(x) = Р(Х < х), х € (-∞, ∞) называется функцией распределения слу­чайной величины Х Для дискретной случайной величины Х функция распреде­ления имеет вид F(x)=∑pi

i:x,<x

Свойства функции распределения:

1) если х1 < х2 , то F(х1)≤F(x2), то есть F(x) - неубывающая функция;

2) F(-∞)=О, F(∞) =1; 3) функция F(x) непрерывна слева, то есть lim F(x) = F(y). xy-0

Кроме того, для любых а < Ь верно равенство Р(а Х < Ь) = F(b) - F(a).

y

1

1 2 x

18. Ковариацией случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: рху = М{\Х-М<Х)][У-М(У)]}.

Для вычисления ковариации дискрет­ных вел-н испол-т формулу mxy=E*E 1-М(Х)][у/-М(У)]р(х,Уi),

а для непрерывных величин—формулу mxy=SS[х—М(ХШу-М(У)]f(х, у)dxdy.

Ковариация равна нулю, если X и У независимы; следовательно, если ковариация не равна нулю, то X и У — зависимые случайные вели­чины. Ковариация служит для характеристики связи между величинами X и У.

Две случайные величины X и У называют корелированными, если их ковариация отлична от нуля; Х и У называют некоррелированными величинами, если ковариация равна нулю.

Дисперсию СВ У - функции случайной величины Х(У=(р(Х)), имеющей дифференциальную функцию f(х), можно определить по формулам:

М(У) = М(ф(х)) = Sф(х)f(х)dх

D(У) = В(ф(х)) = Sф2{х)/(х)dх-М2{У).

10. Предельные теоремы для схемы Бернулли (Теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа). Функции Гаусса и Лапласа.

В случае, когда число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. Для больших существуют приближенные формулы. Точность этих формул увеличивается с возрастанием .

Теорема Пуассона:Предположим, что произведение np = является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает, тогда для любого фиксированного m и постоянного

На практике эта теорема применяется следующим образом. Если n велико, а p мало, , то

Теорема Пуассона с оценкой погрешности: Пусть произвольное множество целых неотрицательных чисел от 0 до n, – число успехов n испытаний схемы Бернулли, тогда

Замечание: Если мало значение q1 то по Пуассоновским приближениям можно воспользоваться для числа неудач.

Если же n достаточно велико, а p не слишком близко к нулю или единице, то имеет место теорема: Локальная теорема Муавра-Лапласа: , где ,

а Функция называется ф-ей Гауса. Эта функция затабулирована – ф-ия Гауса чётная. При достаточно больших n вероятность того, что событие A в схеме Бернулли наступило не менее m1 и не более m2 раз в n испытаниях, при условии, что p не слишком близко к 0 или 1, вычисляется с помощью след. теоремы: Интегральная теорема Муавра-Лапласа: где , Ф-ия (x) называется ф-ией Лапласа, она также затабулирована, она нечётная, т.е. Ф(-x) = Ф(x)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]