3).Знакочередующиеся ряды

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.

Ряд называется знакочередующимся,если любые два соседних члена этого ряда имеют противоположные знаки an*an+1 ,для любого n .

Не ограничивая общности, будем рассматривать ряд вида ,a1-a2+a3-a4+…+ an+…= an,где an _____(1)

Признак Лейбница

Если члены ряда (1) удовлетворяют условиям

an n+1,

,

То ряд(1) сходится и его сумма S не превосходит a1,т.е. S .

В знакочередующемся ряде n-ый остаток rn= (a(n+1)-a(n+2)+…),по модулю не превосходит a(n+1) (rn) a(n+1),ряд (1),для которого выполняются условия признака Лейбница ,называется лейбницким рядом.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся,если ряд ,составленный из модулей его членов,сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся,если сам он сходится,аряд,составленный из модулей его членов,расходится .

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Если ряд (1)абсолютно сходится и имеет сумму S,то ряд,полученный из него перестановкой членов также сходится и имеет туже сумму S,что и исходный ;

Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2,можно почленно складывать(вычитать) ,в итоге получится абсолютно сходящийся ряд,сумма которого равна S1 (разность которой равна S1-S2)

Произведением двух рядов называется ряд вида (a0b0)+(a0b1+a1b0)+(a0b2+a1b1+a2b2)+…+(a0bn+a1b(n-1)+…anb0)+…

,в частности,если an=bn,то получившийся ряд называют квадратом исходного.

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд ,сумма которого равна S1*S2.

В случае условно сходящихся рядов свойства 1-3,вообще говоря,не верны .

5.Непрерывность суммы функционального ряда .

Пусть имеем функциональный ряд (1)

Теорема .Если члены функционального ряда (1)являются непрерывными в области D функциями и ряд(1) равномерно сходится в D,то его сумма является функцией, непрерывной в D.

Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.

Рассмотрим ряд (1):

Свойство 1. Если ряд (1) из непрерывных функций сходится равномерно на [a,b] к сумме S(x) ,то интеграл [a,b], [a,b],равен сумме таких же интегралов от членов данного ряда.

Равномерная сходимость ряда в промежутке является достаточным ,но не необходимым условием почленной интегрируемости .

Свойство 2.Если ряд (1) состоит из непрерывных функций имеющих на отрезке [a,b] непрерывные производные ,сходится на этом отрезке к сумме S(x),а ряд составленный из производных f₁^’(x)+f₂^’(x)+…+f_n^’(x)+…= сходится на отрезке [a,b] равномерно ,то сумма ряда из производных равна производной от суммы ряда (1),т.е. S^’(x).

6.Степенные ряды

Функциональный ряд вида ⁿ=C₀+C₁(x-a)+…+Cn(x-a)ⁿ+…(1),где Cn называется степенным рядом.Числа C0,C1…Cn называются коэффициентами степенного ряда.

Если а=0,то имеем ряд ⁿ (2).

Степенной ряд (2) всегда сходится в точке x=0.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (2)сходится в точке X₀ ,то во всех точках X,таких,что |x|<|x₀| он сходится абсолютно ,если в точке Х₁ степенной ряд (2)расходится во всех точках Х,для которых |x|>|x₁|.

Из теоремы Абеля следует,что для ряда (2)существует интервал сходимости |x|<R , (-R<x<R) с центром в точке Х=0.Внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится .

Аналогично для ряда(1) существует интервал сходимости |x-a|<R,(a-R<x<a+R),с центром в точке Х=а.

Число R называется радиусом сходимости ряда.

Если ряд (2) сходится только в точке х=0 (если ряд (1) сходится в точке х=а),то R=0.Если ряд сходится для всех х ,то R= .

Отметим,что в каждой точке х ,ряд (2) будет сходится абсолютно ,а в точке х=±R может сходится,а может и расходится .

Свойство 1.

Если существует ряд /Cn|=l,l ,то радиус сходимости R ряда(2) и ряда (1),равен R=1/l.

Если же l=0,то R= .

Свойство 2.

Если существует предел =l,то R=1/l для рядов (1) и (2).

Ряд в котором встречаются пропуски степеней называются лакунарным.К таким рядам свойства 1-2,применять нельзя,ихисследуют,как обычные функциональные ряды.

Свойства степенных рядов:

1.Степенной ряд (2) сходится равномерно на любом отрезке содержащемся (-R,R);

2.Сумма S(x) степенного ряда (2)является непрерывной функцией в интервале сходимости .

3.Степенные ряды имеющиеся радиусы сходимости соответственно R₁ и R₂ можно почленноскладывать,вычитать,умножать ,притом радиус сходимости полученный таким образом рядов равен меньшему из чисел R₁ ; R₂ ;

4.Ряд (2) внутри сходимости можно почленно дифференцировать;

5.Ряд(2) можно почленно интегрировать на каждом отрезке расположенном внутри интервала сходимости

Свойства 1-5 справедливы для рядов (1).