8 Система счисления. Переход из q-ой в десятичную и наоборот.
Системой счисления называется принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления разделяются на два класса: позиционные и непозиционные. Позиционной системой счисления называется такое представление чисел, в котором последовательные числовые разряды являются последовательными целыми степенями некоторого целого числа, называемого основанием системы счисления. Основание системы счисления — это отношение соседних разрядов числа. Позиционные системы для записи чисел используют ограниченный набор символов, называемых цифрами, и величина числа зависит не только от набора цифр, но и от того, в какой последовательности записаны цифры, т. е. от позиции, занимаемой цифрой.
Непозиционные системы для записи числа используют бесконечное множество символов, и значение символа не зависит от того места, которое он занимает в числе. Примером непозиционной системы может служить римская система счисления. Например, числа один, два и три кодируются буквой I: I, II, III. Для записи числа пять выбирается новый символ V, для десяти — Х и т. д. Кроме сложной записи самих чисел такая форма их представления приводит к очень сложным правилам арифметики.
Число в позиционной системе счисления с основанием может быть представлено в виде многочлена по степеням следующим образом:
,
(1.4.2)
где
—
запись числа в системе счисления с
основанием
,
—
цифра в
-ом
разряде,
—
число разрядов целой части,
—
число разрядов дробной части.
Записывая слева
направо числа, получим закодированную
запись числа в
-ичной
системе счисления
.
Переведем 0.2 из
десятичной системы счисления в двоичную.
Умножим 0.2 на 2, т. е.
или
.
,
;
,
;
,
;
,
,
т. е.
.
Заметим,
что в десятичной системе правильная
дробь переводится в десятичную дробь
в конечном виде только тогда, когда ее
знаменатель имеет множители только
степени двоек и пятерок, т. е. дробь
имеет вид
.
Аналогично в двоичной системе счисления
конечный вид получают дроби, где в
знаменателе только степени двойки.
Таким образом, большинство десятичных
конечных дробей в двоичной системе
счисления будут бесконечными периодическими
дробями.
Обратный перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную производится методом подстановки. Для этого необходимо представить число по формуле (1.4.2):
.
Между двоичной системой счисления, восьмеричной и шестнадцатеричной существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую. Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, надо от десятичной запятой вправо и влево выделить группы по три цифры (триады), и каждую группу независимо от других перевести в одну восьмеричную цифру. Для перевода в шестнадцатеричную систему необходимо выделять по четыре цифры (тетрады) и переводить каждую группу в одну шестнадцатеричную цифру.
9 Кодирование символьных и текстовых данных.
В двоичной системе счисления кодирование "внешних" символов основывается на сопоставлении каждому из них определенной группы двоичных знаков. Двоичное кодирование символьных данных производится заданием кодовых таблиц, в которых каждому символу ставится в соответствие одно- или двухбайтовый код. Восьми двоичных разрядов достаточно для кодирования 256 различных символов. Этого количества достаточно, чтобы выразить все символы английского и русского алфавита, а также знаки препинания, символы основных арифметических операций и некоторые специальные символы.
Наиболее популярная таблица ASCII (American Standard Code for Information Interchange, американский стандартный код информационного обмена) разработана институтом стандартизации США (American National Standard Institute, ANSI) в 1981 году (табл. 1.10).
Коды с 0 до 127 составляют базовую (основную) таблицу, коды со 128 по 255 — расширенную (дополнительную) таблицу. Дополнительная таблица отдана национальным алфавитам и символам псевдографики.
Аналогичные системы кодирования текстовых данных были разработаны и в других странах. Так, в СССР действовала система кодирования КОИ-8 (код информационного обмена восьмизначный). Компанией Microsoft была введена кодировка символов русского языка, известная как кодировка Windows-1251.
Во многих азиатских странах 256 кодов не хватило. В 1991 году производители программных продуктов (Microsoft, IBM, Apple) выработали единый стандарт Unicode 3.0. Этот код построен по 31-битной схеме. Все текстовые документы в этой кодировке вдвое длиннее, зато она содержит буквы латинского и многих национальных алфавитов, спецсимволы и т. п.
Таблица 1.10. Базовая таблица кодировки ASCII
32 |
пробел |
48 |
0 |
64 |
@ |
80 |
P |
96 |
` |
112 |
p |
33 |
! |
49 |
1 |
65 |
A |
81 |
Q |
97 |
a |
113 |
q |
34 |
" |
50 |
2 |
66 |
B |
82 |
R |
98 |
b |
114 |
r |
35 |
# |
51 |
3 |
67 |
C |
83 |
S |
99 |
c |
115 |
s |
36 |
$ |
52 |
4 |
68 |
D |
84 |
T |
100 |
d |
116 |
t |
37 |
% |
53 |
5 |
69 |
E |
85 |
U |
101 |
e |
117 |
u |
38 |
& |
54 |
6 |
70 |
F |
86 |
V |
102 |
f |
118 |
v |
39 |
' |
55 |
7 |
71 |
G |
87 |
W |
103 |
g |
119 |
w |
40 |
( |
56 |
8 |
72 |
H |
88 |
X |
104 |
h |
120 |
x |
41 |
) |
57 |
9 |
73 |
I |
89 |
Y |
105 |
i |
121 |
y |
42 |
* |
58 |
: |
74 |
J |
90 |
Z |
106 |
j |
122 |
z |
43 |
+ |
59 |
; |
75 |
K |
91 |
[ |
107 |
k |
123 |
{ |
44 |
, |
60 |
< |
76 |
L |
92 |
\ |
108 |
l |
124 |
| |
45 |
- |
61 |
= |
77 |
M |
93 |
] |
109 |
m |
125 |
} |
46 |
. |
62 |
> |
78 |
N |
94 |
^ |
110 |
n |
126 |
~ |
47 |
/ |
63 |
? |
79 |
O |
95 |
_ |
111 |
o |
127 |
|