15 Элементы теории графов. Способы задания графов.

Граф задается парой множеств. Пусть  — непустое множество,  — множество всех его двухэлементных подмножеств, . Тогда пара называется неориентированным графом. Элементы множества называются вершинами графа, а элементы множества  — ребрами. Итак, граф — это конечное множество вершин и множество ребер .

Вершины графа обозначают по-разному: или большими буквами, или малыми с индексами; для ребер наиболее употребительное обозначение с индексом, например, . Взаимное расположение, форма и длина ребер значения не имеют. Важно лишь то, что они соединяют две данные вершины множества .

Если в паре вершин и указано направление связи, т. е. какая из вершин является первой, то соединяющий их отрезок называется дугой, а вершины, определяющие дугу , называют концевыми вершинами. Если концевые вершины совпадают, то дугу называют петлей. В графе могут существовать дуги (ребра) с одинаковыми концевыми вершинами. Такие дуги называются параллельными.

Если в графе все элементы множества изображаются дугами, то граф называется ориентированным или орграфом, если ребрами, то неориентированным. Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.

Вершина и ребро называются инцидентными, если является концом ребра , и не инцидентными в противном случае. Таким образом, смежность есть отношение между однородными элементами графа, тогда как инцидентность является отношением между разнородными элементами.

Число вершин графа называется его порядком. Степенью вершины называется число дуг (ребер) графа , инцидентных данной вершине. Вершина степени нуль называется изолированной, а если степень равна единице, то такая вершина называется висячей.

Граф простой, если он не содержит петель и параллельных дуг. Простой граф, в котором каждая пара вершин смежна, называется полным. Граф, содержащий хотя бы две параллельные дуги (ребра), — мультиграф. Граф, содержащий петли, — псевдограф.

Графы удобно изображать в виде рисунков, состоящих из точек и линий, соединяющих некоторые из этих точек. Два графа и называются изоморфными, если между множеством их вершин существует такое взаимно однозначное соответствие, при котором в одном из графов ребрами соединены вершины в том и только в том случае, если в другом графе ребрами соединены те же вершины. Для орграфов ориентация дуг должна быть также одинаковой.

Очевидно, что отношение изоморфизма графов является эквивалентностью, т. е. оно симметрично, транзитивно и рефлексивно. Следовательно, множество всех графов разбивается на классы так, что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных классов не изоморфны.

Способов задания графов — великое множество. Самый простой способ — задание множеств и . Граф также может быть задан просто рисунком. В силу изоморфизма один и тот же граф может быть изображен разными рисунками.

Р ис. 1.13. Основной и дополнительный графы

Граф называется плоским (планарным), если он может быть изображен на плоскости так, что все пересечения ребер являются его вершинами. Для произвольного графа следующим образом определяется дополнительный граф (дополнение) . В этом графе вершин столько же, сколько в графе , причем любые две несовпадающие вершины смежны в тогда и только тогда, когда они не смежны в (рис. 1.13).

Чередующая последовательность вершин и ребер графа, такая что , называется маршрутом, соединяющим вершины и . Очевидно, что маршрут можно задать последовательностью его вершин или последовательностью ребер . Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, крайних, различны. Гамильтоновой цепью называется простая цепь, содержащая все вершины графа.

Маршрут называется циклическим, если . Циклическая цепь называется циклом, а циклическая простая цепь — простым циклом. Число ребер в маршруте — длина маршрута. Гамильтоновым циклом называется простой цикл, содержащий все вершины графа. Длина всякого цикла не менее трех в графе без петель и кратных ребер. Минимальная из длин циклов графа называется его обхватом.

В ажным понятием теории графов является связность. Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом.

Рис. 1.14. Граф

В подавляющем большинстве случаев граф задается матрицей. Для расчетов на ЭВМ это единственный способ. Наиболее часто граф задают с помощью матриц смежности и инциденций.