Комплексные числа в алгеброической форме. Действия над ними

Алгебраическая форма комплексных чисел (рис. 5.1) Обозначения, терминология

где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;

      - число, сопряженное числу z = a + bi;

      - модуль комплексного числа; либо , - аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента);

Arg z - множество аргументов числа z:

Действия над комплексными числами

     Если то:

Модуль комплексного числа, его свойства.

Пусть комплексное число изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа и обозначается . Из рисунка 17.4 очевидно, что (17.6)

Рис.17.4.Модуль и аргумент

Угол, образованный радиус-вектором числа с осью , называется аргументом числа и обозначается . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до или в диапазоне от до . Кроме того у числа аргумент не определен.

На рис. 17.4 равен углу . Из того же рисунка очевидно, что

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:    или (17.7)

причем первая формула действует, если изображение числа находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если , то комплексное число изображается вектором на оси и его аргумент равен или .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть . Тогда ,

С учетом формулы (17.6) получим

или

3.Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример 17.3   Изобразим на комплексной плоскости числа , , , , :

Рис.17.1.Изображение комплексных чисел точками плоскости

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число изображается радиус-вектором точки с координатами . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Рис.17.2.Изображение комплексных чисел векторами

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие (рис. 17.3).

Рис.17.3.Изображение суммы комплексных чисел

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим , . Из рисунка 17.4 очевидно, что

Тогда . Это выражение запишем в виде (17.8)

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару , но запись (17.8) принята в силу традиции.

        Замечание 17.3   При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения и , иначе мы потеряем явное указание аргумента и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол получился отрицательным, то знак " " НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.         

4.Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Пусть . Положим , . Из рисунка 17.4 очевидно, что

Тогда . Это выражение запишем в виде (17.8)

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару , но запись (17.8) принята в силу традиции.

        Замечание 17.3   При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения и , иначе мы потеряем явное указание аргумента и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол получился отрицательным, то знак " " НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.  

Пусть , . Найдем произведение :

Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа . Значит,

иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Аналогично можно доказать, что

иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.

Несложно проверить, что если , то

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где  -- натуральное число.

Пусть . Тогда

то есть

Далее находим

то есть

Продолжая умножения дальше, придем к формуле (17.9)

Эта формула называется формулой Муавра.

        Пример 17.6   Вычислите , если .

Решение. Находим тригонометрическую форму числа :

По формуле Муавра

Переходим к алгебраической форме, вычисляя косинус и синус: .

Ответ: .