15. Тройной интеграл по области. Множество меры "0" (кубиками).
(Включаем
область
в параллелограмм
)
(
-непрерывная,
-разрывная)
Считаем границу -множеством меры «0»
Множество меры «0» ( в пространстве)-это множество, которое мы можем покрыть кубиками с суммарным объемом сколь угодно малым.
Свойства тройного интеграла:
Аддитивность
(
,
т.е. мера пересечения множеств
равна
«0»)
Тогда:
Линейность
Если
(в
любой точке области
)
Если известны наименьшее
и
наибольшее
значения
непрерывной функции
в
области
,
то
оценивается
так:
Теорема о среднем:
,
где
-некая
средняя точка области
16. Сведение тройного интеграла к повторному.
П
ри
каждом z существует сечение
области
между
и
=
=
Формула замены переменной в тройном интеграле. Примеры вычисления Якобиана.
замена
взаимооднозначная.
Ц
илиндрическая
система координат.
Сферическая система.
Экватор
18. Параметрическое задание поверхности.
Примеры. (цилиндр, сфера)
Способы задания:
1)
берётся область и задаётся высота точки
над плоскостью х. если задана
,
то для каждого х и у задаётся радиус-вектор
.
2)в
неявном виде:
Например сфера: если хотим представить в первом виде, то надо распилить сферу на две половины и каждую задать.
3)
параметрический способ:
и
.
Чтобы
задать поверхность, нужно два параметра
,
где
На
области
задано векторное поле, т.е. задан
радиус-вектор в зависимости от параметров
.
Возьмём
точку М
.
Ей соответствуют
.
Возьмём
фиксированное значение
;
а
-меняется.
- радиус-вектор.
Мы получили кривую на нашей поверхности.
Теперь
фиксируем
,
а
будет меняться.
- радиус-вектор.
Получим другую кривую на нашей поверхности.
Взяв другие точки, получим координатную сетку на поверхности. Но здесь мы должны поставить одно условие, координатные линии не должны касаться друг друга.
Система координат невырождена. Взяли вектора вдоль координатных прямых. Эта система векторов будет линейно независима.
Координаты касательного вектора, если смещение вдоль линии .
ранг
матрицы равен двум (чтобы эти вектора
были линейно независимые).
Эти вектора линейно независимые.
(условие
линейной независимости: векторное
произведение
)
Пример:
Как можно описать поверхность бесконечного цилиндра?
О
Третий способ задания:
цилиндрический
способ задания.
Получили
два параметра:
и
,
примем
-любое,
а
меняется от 0 до
.
Область
представляет собой бесконечную полосу.
Радиус –вектор
имеет координаты: Эти
вектора перпендикулярны; первый имеет
длину=1, второй – R.
Если
,
то параметризация невырожденная.
Теперь цилиндр:
(радиус R)
возьмём
сферы. Ей мы можем сопоставить два угла:
и
.
Свяжем декартову систему и сферическую.
Каким образом совершается переход от одних к другим?
Зная можно вычислить , а зная , а также х и у можно вычислить .
Будет ли эта система координат вырожденной?
Чтобы узнать, вырождена система или нет, надо посчитать векторное произведение.
В итоге получим вектор с координатами:
Если найдём сумму квадратов, то получим единицу.
Система
невырождена во всех точках кроме точек,
где
,
то есть в этих точках система будет
вырождена.
Третий способ задания – параметрический:
и
- это касательные векторы.
Вектор
нормали – это векторное произведение
этих двух векторов.
Если мы хотим, чтобы он был единичный, то:
если
уравнение нормали, то надо добавить
и
круглые
скобки обозначают скалярное произведение.
Равенство нулю смешанного произведения обозначает равенство нулю также и определителя.
Нормаль к сфере направлена вдоль радиуса-вектора.