2. Условия потенциальности векторного поля в пространстве.

Теорема. Для того чтобы непрерывное в области , векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от кривой соединяющей любые две точки области.

Доказательство.

(интегрирование производится по кривой соединяющей точки и . Далее, проверяется, что — потенциал векторно­го поля

Определение. Область называется поверхностно односвязной, если для любого гладкого простого замкнутого кон­тура найдется гладкая регулярная поверхность (без само­пересечений) , ограниченная контуром С.

Теорема. Для того чтобы непрерывно дифференци­руемое в поверхностно односвязной области векторное по­ле = было потенциаль­ным, необходимо и достаточно, чтобы в области выполнялось условие

,

т.е.

Доказательство. Для доказательства достаточности рассмотрим произвольный гладкий простой замкнутый контур . Пусть — гладкая регу­лярная поверхность без самопересечений, ограниченная контуром С (область поверхностно односвязна). В силу формулы Грина

Далее, доказывается, что функция

(интегрирование производится по ломаной , соединяющей точки и ) является потенциалом векторного поля

23. Формула Остроградского

Пусть — внутренность простого замкнутого контура С, ле­жащего в плоскости

В пространстве рассмотрим замкнутую область

при

Предположим, что граница замкнутой области , состоящая из поверхностей и, быть может, части — цилиндрической поверхности с образующими, проходя­щими через точки контура С параллельно оси , представляет собой кусочно гладкую регулярную поверхность.

Будем говорить, что замкнутая область элементарна отно­сительно плоскости .

Ориентируем поверхность полем единичных векторов внеш­них нормалей

т. е. в каждой точке поверхности выберем единичный вектор нормали, направленный во внешность замкнутой области (рисунок).

Пусть — непрерывно дифференцируемое в области векторное поле.

Теорема. Пусть замкнутая область элементарна относительно всех координатных плоскостей. Тогда имеет место формула Остроградского

(1)

где и — замкнутая область и поверхность.

Доказательство.

Так как на поверхности , то

.

Поэтому

(2)

Аналогично доказываются равенства

(3)

(4)

Складывая равенства (2), (3) н (4), получим формулу Остроградского (1). Определение. Функция

называется дивергенцией дифференцируемого векторного поля и обозначается

Если = 0, то векторное поле называется соленоидалъным.

Используя понятие дивергенции, формулу Остроградского (1) можно записать в виде

(5)

Таким образом, поток векторного поля через поверх­ность , ограничивающую замкнутую область , равен тройно­му интегралу от дивергенции векторного поля по замкнутой об­ласти .

Замечания. 1. Для дивергенции часто употребляется сле­дующее символическое обозначение:

Где

2. Будем рассматривать векторное поле как стацио­нарное поле скоростей несжимаемой жидкости, плотность кото­рой равна 1. Тогда согласно формуле Остроградского количество жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени, равна Выбрав в качестве шар радиуса с центром в точке и воспользовавшись теоремой о среднем, в силу (5) получим

где — поверхность шара. Отсюда следует, что

Величина

называется средней плотностью источников векторного поля , находящихся в шаре .

Предел

есть плотность источников векторного поля .

Таким образом, представляет собой плотность источни­ков векторного поля .

Если источники отсутствуют, то = 0 и в силу формулы

Остроградского , т. е. количество жидкости, втекающее в объем , равно количеству жидкости, вытекающей из него.

Гладкая кривая называ­ется линией тока векторного поля , если

т. е. касательный вектор кривой в каждой точке ра­вен значению векторного поля в этой точке.

Выберем простой замкнутый контур так, чтобы ни в од­ной точке контура С вектор не был параллелен соот­ветствующему касательному вектору к контуру С. Через каждую точку контура С проведем линию тока векторного поля . Часть пространства, заключенная внутри поверхности Е₀, состав­ленной из линий тока, называется трубкой тока.

Поток векторного поля че­рез любой кусок поверхности трубки тока равен нулю, так векторное ноле касается поверхности и . Отсюда следует, что поток соленоидального векторного поля через любое сечение трубки тока постоянен. В самом деле, применяя формулу Остроградского к замкнутой области, ограниченной поверх­ностью трубки тока и сечениями и (рисунок), получим (так как )

Т.е.

Замечания. 1. Легко видеть, что если — дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле, то т. е. векторное поле является соленоидальным. Можно доказать, что если непрерывно дифференцируемое векторное по­ле соленоидально в односвязной области, то сущест­вует такое дважды непрерывно дифференцируемое векторное по­ле , что .

Векторное поле называется векторным потенциалом поля .

Векторный потенциал определен неоднозначно, а именно, ес­ли — векторный потенциал поля , то

где — дважды непрерывно дифференцируемая функция, также векторный потенциал. Это утверждение следует из легко проверяемого тождества:

2. Любое непрерывно дифференцируемое в ограниченной обла­сти векторное поле можно представить в виде суммы

где — (локально) потенциальное , а — соленоидальное векторные поля. Это утверждение мы также приводим здесь без доказательства.