1. Некогерентные двоичные сигналы

При анализе когерентного приема бинарных сигналов и разумном предположении об их равных априорных вероятностях передачи (P(s₀) = P(s₁)) канал являлся симметричным, т.е. вероятности перепутывания символов были одинаковы: P(s₀ /s₁) = P(s₁ /s₀). Эту ситуацию иллюстрирует рис. 2.14, где W(Z/0) и W(Z/1) – мгновенные распределения сигналов s₀ и s₁.

а) б)

Рис. 2.14. Плотности распределения сигналов на входе решающей схемы при когерентном приеме: а) – БАМ; б) – БЧМ и БФМ

Вероятность ошибки при этом определялась, как P_E = P(s₀ /s₁) = P(s₁ /s₀).

Амплитудно-манипулированные сигналы

Для некогерентного приема огибающая сигналов БАМ представлена на рис. 2.15, а ее распределения – на рис. 2.16.

Рис. 2.15. Огибающая сигнала БАМ. Рис. 2.16. Распределения огибающей БАМ.

Распределение огибающей U_СШ подчиняется обобщенному закону Релея (Релея-Райса) ,

где S₀ – амплитуда полезного сигнала, I₀(.) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, и который переходит в закон Релея при отсутствии сигнала:

.

Переходя к нормированным величинам a = S₀ / и Z = U_СШ /, запишем эти распределения в виде

и (2.49)

(2.50)

Теперь, даже при равенстве априорных вероятностей P(s₀) = P(s₁), канал несимметричен и вероятности перепутывания символов определятся, как

и , где Н – нормированный порог: H = U_пор /.

Оптимальное значение порога, минимизирующее вероятность ошибки P_E = 0,5[P(s₀/s₁) + P(s₁ /s₀)], как видно из рис. 2.9, находится как абсцисса точки пересечения кривых W(Z/0) и W(Z/1). Решая уравнение W(Z/0)|_Z=Hopt = W(Z/1)|_Z=Hopt относительно Z, получим I₀(aH_opt)= exp(a²/2). Решение этого трансцендентного уравнения представлено графиком на рис. 2.17, где - ОСШ.

П ри достаточно большом (h  3) отношении сигнал/шум величина оптимального порога H_opt = U_Пopt /S₀ стремится к 0,5, т.е. H_opt = a/2=h/2.При h  3 закон Релея-Райса достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом:

, а  4

Рис.2.17. Зависимость оптимального порога от отношения сигнал/шум

Используем эту аппроксимацию для вычисления

условной вероятности перепутывания «1» с «0» (пропуск сигнала):

(2.51)

Здесь использовано

Вероятность ложной тревоги P(s₁ /s₀) определится, как

(2.52)

Полная вероятность ошибки

(2.53)

Т.к. H_opt  a/2 =h/2 при больших h, то

, h3. (2.54)

Ч астотно-манипулированные сигналы

Спектр частотно-манипулированных (БЧМ) сигналов представлен на рис. 2.18. Полный сигнал занимает полосу W, главный лепесток каждого из них имеет ширину 1/Т, частоты разнесены на величину f_p.

Оптимальный в смысле экономии частотного ресурса разнос частот f_popt = 0,75/T. Ниже этого значения различение сигналов ухудшается, его увеличение не приводит к росту помехоустойчивости.

Рис. 2.18. Спектр сигналов БЧМ

Минимально допустимая ширина спектра сигналов БЧМ равна W = f_p + 1/T  2/T, а аналитическая запись такого набора имеет вид

(2.55)

Некогерентный приемник для этих сигналов можно строить как с частотным дискриминатором (ЧД), так и с двумя полосовыми фильтрами. Приемник с ЧД, вследствие нелинейности последнего, уступает линейному приемнику с полосовой фильтрацией.

Рис. 2.19. Приемник ЧМ-сигналов с двумя полосовыми фильтрами

Схема приемника, приведенная на рис. 2.19, симметрична относительно “1” и “0”, поэтому P(s₁ /s₀) = P(s₀ /s₁). Найдем вероятность ошибки при его использовании.

Пусть передается сигнал s₁ (“1”). Тогда U_СШ – выход канала «единиц», U_Ш – выход канала «нулей». Ошибка происходит, когда U_Ш  U_СШ: Вероятность этого события

(2.56)

U_СШ – случайная величина, поэтому необходимо произвести усреднение по всем возможным значениям U_СШ:

или

, (2.57)

где

W(U_СШ) – распределение Релея-Райса, W(U_Ш) - распределение Релея. Используя v=U_СШ /, z=U_Ш /, a = S₀ / , получим:

(2.58)

Двойной интеграл легко разделяется, причем [6]:

и окончательно

Итак, вероятность ошибки при некогерентном приеме сигналов БЧМ

(2.59)