16. Класифікація задач математичного програмування.

У матем. програмуванні виділяють 2 напрямки — детерміновані задачі і стохастичні. Детерміновані задачі не містять випадкових змінних чи параметрів. Уся початкова інфор­мація повністю визначена. У стохастичних задачах використо­вується вхідна інформація, яка містить елементи невизначеності, або деякі параметри набувають значень відповідно до визначених функцій розподілу випадкових величин.

Кожен з названих напрямків включає типи задач матем. програмування, які в свою чергу поділ-ся на ін.класи. Схематично класифікацію задач зображено на рис. (поділ наведений для детермінованих задач, але він такий же і для стохастичних).

Як детерміновані, так і стохастичні задачі можуть бути статичними (однокроковими) або динамічними (багатокроковими). Оскільки економічні процеси розвиваються в часі, відповідні економіко-математичні моделі мають відображати їх динаміку. Поняття динамічності пов’язане зі змінами об’єкта (явища, процесу) у часі.

Задачі математичного програмування поділяють також на дискретні і неперервні. Дискретними наз. задачі, в яких одна, кілька або всі змінні набувають лише дискретних значень. З-поміж них окремий тип становлять задачі, в яких одна або кіль­ка змінних набувають цілочислових значень. Їх називають задачами цілочислового програмування. Якщо всі змінні можуть набувати будь-яких значень на деяких інтервалах числової осі, то задача є неперервною.

Оскільки в економіко-математичних моделях залежності між показниками описані за допомогою функцій, то відповідно до їх виду всі вище згадані типи задач поділяють на лінійні та нелінійні.

Найпростішими з розглянутих типів є статичні, детерміновані, неперервні та лінійні задачі. Важливою перевагою таких задач є те, що для їх розв’язування розроблено універсальний метод, який називається симплексним методом

17. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування.

Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ — так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді:

(2.1)

за умов:

(2.2)

(2.3)

Отже, потрібно знайти значення змінних x₁, x₂, …, x_n, які задовольняють умови (2.2) і (2.3), і цільова функція (2.1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Для загальної задачі лінійного програмування використовуються такі поняття.

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n), координати якого задовольняють систему обмежень (2.2) та умови невід’ємності змінних (2.3), називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (2.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (2.3) щодо невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція (2.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Теорема 2.1. Кожному розв’язку нерівності (2.4) відповідає єдиний розв’язок рівняння (2.5), який одночасно є розв’язком нерівності (2.4), і, навпаки, кожному розв’язку рівняння (2.5) і нерівності (2.4) відповідає єдиний розв’язок нерівності.

Приклад 3.1. Розв’язати графічним методом задачу лін.прогр-ня

.

Розв’язання. Маємо n=7 – к-ть змінних, m=5 – к-ть обмежень. Виберемо як вільні змінні х₁ та х₂ і виразимо через них всі ін.базисні змінні. З 1 р-ня маємо:

(3.19)

З 3 рівняння:

,(3.20)

а з 4:

.(3.21)

Підставляючи (3.19) в 2 р-ня с-ми і (3.21) в останнє, розв’язуємо їх відносно х₄ та х₇. Отримаємо:

;

.

Далі за алгоритмом беремо х₁ = 0 та х₂ = 0 – координатні осі; інші обмежуючі прямі знаходимо, узявши х₃ = 0, х₄ = 0, х₅=0, х₆ = 0, х₇ = 0. Багатокутник допустимих розв’язків зображено на рис. 3.10.

Рисунок 3.10

Знайдемо вигляд функціонала, вираженого через х₁ та х₂. Для цього знайдені щойно вирази для х₃, х₄, х₅, х₆ та х₇ через вільні змінні х₁ і х₂ підставимо у функціонал і, звівши подібні члени, отримаємо: . Відкидаючи вільний член, маємо: . Будуємо вектор (–5, –2), перпендикулярно до нього — пряму F^'. Рухаючи пряму F^' в напрямку, протилежному (необхідно знайти мінімальне значення функції F), отримаємо точку мінімуму – А (рис.3.11).

Рисунок 3.11

У точці А перетинаються 2 обмежуючі прямі: х₆=0 та х₇=0. Отже, для відшукання її координат необхідно розв’язати с-му р-нь:

Розв’язком с-ми є = 8,5; = 5. Підставивши ці значення у відповідні вирази, знайдемо оптимальні значення базисних змінних:

= 0,5; = 16,5; = 17,5; = 0; = 0.

Підстановкою значень та в лін. Ф-ію F отримуємо значення цільової ф-ії .

(3.3)