12.5.2. Заміна змінних в потрійному інтегралі
Нехай система функцій
здійснює
взаємно-однозначне відображення області
V
в системі координат (х,
у,
z)
в область V1
в системі координат
.
Тоді перехід від змінних х,
у,
z
до змінних
в потрійному інтегралі здійснюється
за формулою:
,
(9)
де
– якобіан перетворення елемента об’єму
області, причому
(10)
У
випадку переходу до циліндричних
координат
якобіан
У
випадку переходу до сферичних координат
якобіан
.
Приклад
10.
Обчислити об’єм області, обмеженої
еліпсоїдом
.
Розв’язання. Знаходження об’єму v заданої області V за формулою
вимагає обчислити потрійний інтеграл. Цей інтеграл обчислено при розв’язанні прикладу 8.
Покажемо, що відповідна заміна змінних дозволяє ці обчислення значно спростити.
Зробимо
заміну змінних:
,
,
.
В
цієї узагальненої сферичної системі
координат
рівняння еліпсоїда приймає вигляд: r
= 1. Тому область інтегрування V1
визначається системою нерівностей:
Якобіан
переходу буде
.
Отже, за формулою (9) одержимо:
.
1.
Обчислити інтеграли: а)
;
б)
;
в)
.
(Відповідь:
а)
б) 6; в)
2.
Оцінити інтеграл
,
де D
– куб:
х
1; у
1; z
1; х
3; у
3; z
3.
(Відповідь: 24 < I < 72).
3.
Обчислити
,
де
область D
описується нерівностями:
(Відповідь:
).
4.
Обчислити інтеграл
,
де V – область, яка обмежена площинами z = 0 та z = h і поверхнею обертання кривої у = z2 навколо осі Oz.
(Відповідь:
).
5.
Обчислити інтеграл
,
де V
– область, яка обмежена координатними
площинами та площиною
2х
+
2у
+ z
– 6 = 0. (Відповідь:
).
6.
Обчислити інтеграл
,
де V
– область, яка обмежена поверхнями: х
= у2;
у
=
х2;
z
= xy
та z
= 0.
(Відповідь:
).
7. Знайти об’єм тіла, яке обмежене поверхнями
4z = х2 + у2 та х2 + у2 + z2 = 12
(Відповідь:
куб. од.).
8. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями
х2 + у2 + z2 = 16 та х2 + у2 + z2 – 8z = 0.
Рекомендація: Спочатку використати формулу . При обчисленні подвійного інтеграла перейти до полярних координат.
(Відповідь:
куб. од.).
9. Обчислити об’єм області, яка обмежена поверхнями:
а)
сферою радіуса а;
б) конусом з вершиною в центрі сфери і
твірними, що нахилені до осі Оz
під кутом
;
в) двома площинами, які проходять через
вісь Оz
і утворюють з площиною хОz
кути
та
;
г) площиною хОу.
Рекомендація:
Розв’язування провести в сферичних
координатах. Рівнянням сфери буде
рівність r
= а.
Аналітичний опис області буде:
364
(Відповідь:
куб. од.).
10. Знайти масу частини кулі радіуса R, яка розташована в першому октанті і має в кожній точці густину рівну відстані цієї точки від площини хОу.
Рекомендація:
густина розподілу маси
.
Потрійний інтеграл обчислити переходом
до сферичних координат.
(Відповідь:
).
11. Знайти масу тіла, обмеженого поверхнями:
х2 + у2 + z2 = 4 та 3z = х2 + у2.
Густина розподілу маси в кожній точці тіла: .
(Відповідь:
)
12. Обчислити об’єм частини кулі х2 + у2 + z2 4R2, яка лежить всередині циліндра х2 + у2 = R2 .
Рекомендація: Перейти до циліндричних координат.
(Відповідь:
куб. од.).
13. Обчислити об’єм області, яка обмежена поверхнями х2 + у2 = R2 та z = х2 + у2.
(Відповідь:
куб. од.).
14. Переходом до сферичних координат обчислити інтеграл
де
D
– куля радіуса R.
(Відповідь:
).
15. Переходом до циліндричних координат обчислити
(Відповідь:
).