4. Обчислити сумарний електричний заряд, який розподілений з густиною на дузі ав: .

12.3.1. Обчислення подвійних інтегралів

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Оу (див. мал. 1, а), то її аналітично можна описати нерівностями виду

(1)

і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:

. (2)

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Ох (див. мал. 1, б), то її аналітично можна описати нерівностями виду

(3)

і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:

(4)

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямі осі Оу і в напрямі осі Ох (див. мал. 1, в), тоді мають місце рівності:

, (5)

які означають, що подвійний інтеграл в цьому випадку можна обчислити за формулою (2) або (4).

Для обчислення повторного інтеграла треба спочатку за формулою Ньютона-Лейбніца знайти внутрішній інтеграл за відповідною змінною інтегрування, а потім обчислити зовнішній інтеграл за іншою змінною інтегрування.

Y Y

d

D D

a 0 b x 0 x

c

a) б)

Y

в) D Мал.1

0 X

Приклад 2. Визначити сумарний заряд Q пластинки, що обмежена лініями у = х², у² = х, 4х + 4у – 3 = 0, якщо щільність розподіленого поверхневого заряду .

Розв’язання. Згідно фізичному значенню інтеграла по області маємо:

.

Область інтегрування D зображена на мал. 2. Щоб одержати аналітичний опис заданої пластинки у вигляді нерівностей (3) розіб’ємо D на дві частини D₁ та D₂ прямою , яка проходить паралельно осі Ох через точку перетину заданої прямої і параболи . Використовуючи властивості інтеграла по області отримаємо:

y

4x+4y-3=0

x

Мал.2

З малюнка 2 одержуємо аналітичний опис областей:

.

Для цього в кожній області спочатку визначили сталі межі змінної у, а потім – нерівності для х шляхом визначення значень х, якщо рухатися через область за напрямом осі Ох.

Отже,

(од. зар.).

12.3.2 Заміна змінних в подвійному інтегралі

При заміні змінних: , область D площини хОу відображається в область G площини uОv; елемент площини dxdy відобразиться в елемент площі , де визначник

називають функціональним визначником або якобіаном, а його модуль називають коефіцієнтом спотворення області.

Отже, якщо функції та неперервні в області G разом із своїми частинними похідними першого порядку, то має місце рівність

.

Часто для обчислення подвійних інтегралів використовують полярні координати: , . Тоді якобіан переходу , а елемент площі .

Перехід в подвійному інтегралі до полярних координат доцільно використовувати в тих випадках, коли підінтегральна функція залежить від х² + у² або від , а також у випадках, коли межа області D містить дуги кіл та промені, що виходять із початку координат.

Приклад 3. Обчислити інтеграл , по чверті кільця , що лежить в першому квадранті.

Розв’язання. Область інтегрування D зобразимо на мал. 3.

Підставимо в нерівність , замість х та у їх значення , . Одержимо: . Оскільки кільце лежить в першому квадранті, то .

Отже

y x 2 1 1 2 0 Мал. 3

Зауваження. При переході до полярних координат в подвійному інтегралі треба враховувати, що в точці О(0,0) якобіан дорівнює нулю. Так, для області D, що зображена на малюнку 4, перехід до повторного інтегралу приймає вид:

y x D 0 Мал. 4

1. Обчислити повторні інтеграли:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Записати рівняння ліній, що обмежують області інтегрування заданих інтегралів та зобразити ці області:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

3. Перейти від подвійного інтеграла до повторного:

а) D – трикутник з вершинами O(0, 0), А(1, 0), В(1, 1).

б) D – трапеція з вершинами O(0, 0), А(2, 0), В(1, 1), С(0, 1).

в) D – паралелограм з вершинами А(1, 5), В(2, 4), С(2, 7), D(1, 5).

г) D – параболічний сегмент, що обмежений параболою

у = х² та відрізком, який з’єднує точки параболи В(–1, 2) та

А(1, 2).

д) D – кругове кільце, що обмежене колами радіусів r = 1 та R = 3 із загальним центром O(0, 0).

4. Змінити порядок інтегрування

а) ; б) ; в) .

5. Обчислити інтеграл , якщо

а) D – трикутник з вершинами O(0, 0), А(1, 1) та В(0, 1);

б) D – обмежена прямою, що проходить через точки

А(2, 0) та В(0, 2), і дугою кола з центром в точці С(0, 1), радіуса 1.

6. Обчислити інтеграл , де D – область, що обмежена лініями у² = х, х = 0, у = 1.

7. Обчислити , де D – область, що обмежена лініями , у = х.

8. Використовуючи перехід до полярних координат, обчислити інтеграли:

а) , D – півкруг радіуса а з центром в початку координат, що лежить вище осі Ох.

б) ;

в) , D – визначається нерівностями

г) , D – частина кільця

д) , D – круг .