- •Вопрос 10
- •Виды бинарных операций
- •Определение
- •Замечание
- •Примеры
- •35B/Тригонометрическая и показательная формы
- •Свойства Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •Примеры
- •Линейная зависимость векторов
- •Матрица перехода
- •Определение
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Свойства
- •[Править] Линейное преобразование и ранг матрицы
- •[Править] Методы
- •Определение
- •Связанные определения
- •Свойства
- •Линейное преобразование и ранг матрицы
- •[Править] Однородные системы
- •[Править] Пример
- •[Править] Неоднородные системы
- •[Править] Пример
- •Определитель Грама
- •[Править] Геометрический смысл определителя Грама
- •Евклидово пространство
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Примеры
- •Процесс ортогонализации Грама--Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве
- •Скалярное произведение в произвольном базисе
- •Ортогональное дополнение подпространства m из l
- •Ортогональное дополнение подпространства m из l
- •Линейные операторы
- •[Править] Единичный (тождественный) оператор
- •Матрица линейного оператора
[Править] Однородные системы
Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.
Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.
Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.
Решения однородной системы обладают свойством линейности:
|
Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы. |
|
Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:
|
Теорема (о структуре общего решения). Пусть , тогда:
|
|
Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:
— решения системы (1);
линейно независимы;
.
|
Теорема (о ФСР). Пусть ранг основной матрицы , где — число переменных системы (1), тогда:
Замечание: Если , то ФСР не существует. |
|
[Править] Пример
Решим систему
Перепишем её в матричном виде:
Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:
Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.
Перепишем полученную систему в виде уравнений:
Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:
Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .
Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:
,
а вектора составляют фундаментальную систему решений.
[Править] Неоднородные системы
Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:
— её расширенная матрица.
|
Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:
|
|