- •Вопрос 10
- •Виды бинарных операций
- •Определение
- •Замечание
- •Примеры
- •35B/Тригонометрическая и показательная формы
- •Свойства Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •Примеры
- •Линейная зависимость векторов
- •Матрица перехода
- •Определение
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Свойства
- •[Править] Линейное преобразование и ранг матрицы
- •[Править] Методы
- •Определение
- •Связанные определения
- •Свойства
- •Линейное преобразование и ранг матрицы
- •[Править] Однородные системы
- •[Править] Пример
- •[Править] Неоднородные системы
- •[Править] Пример
- •Определитель Грама
- •[Править] Геометрический смысл определителя Грама
- •Евклидово пространство
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Примеры
- •Процесс ортогонализации Грама--Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве
- •Скалярное произведение в произвольном базисе
- •Ортогональное дополнение подпространства m из l
- •Ортогональное дополнение подпространства m из l
- •Линейные операторы
- •[Править] Единичный (тождественный) оператор
- •Матрица линейного оператора
[Править] Пример
Решим систему
Преобразуем её к
Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.
Заметим, что является частным решением.
Составим однородную систему:
Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:
Общее решение системы может быть записано так:
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2].
46/B
Определитель Грама
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Определителем Грама системы векторов e1, e2, ..., en в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:
где — скалярное произведение векторов ei и ej.
Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:
Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e1, e2, ..., en порождает подпространство U. Зная, чему равны скалярные произведения вектора x из U с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора x по векторам e1, e2, ..., en. Исходя из разложения x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen получается линейная система уравнений с матрицей Грама:
Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы e1, e2, ..., en линейно независимы. Поэтому обращение в нуль определителя Грама системы векторов - это критерий их линейной зависимости.
[Править] Геометрический смысл определителя Грама
Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:
Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e1, e2, ..., en порождает подпространство U. Зная скалярные произведения вектора x из V с каждым из этих векторов, найти расстояние от x до U. Минимум расстояний |x-u| по всем векторам u из U достигается на ортогональной проекции вектора x на U. При этом x=u+n, где вектор n перпендикулярен всем векторам из U, и расстояние от x до U равно модулю вектора n. Для вектора u решается задача о разложении (см. выше) по векторам e1, e2, ..., en, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:
где Г - определитель Грама системы. Вектор n равен:
и квадрат его модуля равен
Из этой формулы индукцией по n получается следующее утверждение:
Определитель Грама системы n векторов равен квадрату n-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы.
Евклидово пространство
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .
1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:
,
в простейшем случае (евклидова норма):
где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).
2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:
,
где и .
Содержание [убрать]
|