Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.

В лекции 21 (1-й семестр) рассматривалось представление функции в виде многочлена Тейлора с остаточным членом. Поскольку коэффициенты ряда Тейлора и многочлена Тейлора вычисляются по одной и той же формуле, мы можем воспользоваться прове-денными в лекции 21 вычислениями для получения разложения в ряд Тейлора некото-рых элементарных функций. При этом обратим особое внимание на определение обла-сти сходимости полученных рядов.

1. . Сходимость полученного ряда исследовалась в примере 2 лекции 5, где показано, что он абсолютно сходится при любом х.

2. .

3. .

Используя формулу Даламбера для определения радиуса сходимости, найдем, что он равен бесконечности, то есть функции y = sin x и y = cos x раскладываются в ряд Тей-лора на всем множестве действительных чисел.