Раздел 8. Векторный анализ и элементы теории поля.

1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии.

2. Потенциальная функция векторного поля.

3. Поток векторного поля.

4. Дивергенция векторного поля.

5. Циркуляция векторного поля.

6. Ротор векторного поля.

7. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса в векторной форме, их физический смысл.

8. Дифференциальные операции первого и второго порядков.

Раздел 12. Элементы теории функций комплексной переменной.

1. Комплексные числа. Геометрическое изображение. Свойства.

2. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность.

3. Основные элементарные функции комплексной переменной.

4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Условия Коши - Римана.

5. Интегрирование функций комплексной переменной.

6. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

7. Степенные ряды в комплексной области.

8. Ряды Тейлора и Лорана. Классификация особых точек.

9. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах.

10. Понятие конформного отображения. Критерий конформности.

11. Общие теоремы теории конформных отображений. Функция Н.Е. Жуковского.

5. Список литературы (3 семестр) Основная литература

1. Ангилейко И.М., Козлова Р.В. Задачи по теории функций комплексной переменной / И.М. Ангилейко, Р.В. Козлова. – Минск: Вышэйшая школа, 1976. – 128 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1985.

3. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 2 / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2004. – 448 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1965. – 716 с.

6. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики / Под общ. ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высшая школа, 1970. – 512 с.

7. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 3 / Под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 1991. –288 с.

8. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление / А.А. Гусак, Е.А. Бричкова, Г.М. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2002. – 208 с.

9. Шипачёв В.С. Высшая математика / Под ред. акад. А.Н. Тихонова. – М.: Высшая школа, 1985. – 471 с.

Дополнительная литература

1. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложение / А.В. Ефимов. – М.: Высшая школа, 1980. – 273 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1978. – 832 с.

3. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука, 1986. – 528 с.

4. Сборник задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – Санкт-Петербург, 1994. – 496 с.

5. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. – Минск: ТетраСистемс, 2006. – 640 с.

6. Шмелёв П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях / П.А. Шмелёв. – М.: Высшая школа, 1983. – 176 с.

7. Бруй I.М., Роўба Я.А. Інтэгралы. Ступенныя шэрагі. Шэрагі Ларана. Вылікі / I.М. Бруй, Я.А. Роўба. – Гродна: Гродзенскі дзяржаўны універсітэт імя Янкі Купалы, 1995. – 79 с.

Приложение 1. ТИПОВАЯ ПРОГРАММА (4 семестр)

Раздел 15. Теория вероятностей.

Тема 15.1. Элементы комбинаторного анализа.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания.

Тема 15.2. Основные понятия теории вероятностей.

Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность события. Аксиоматическое и классическое определения вероятности. Теоремы сложения и умножения.

Тема 15.3. Условная вероятность.

Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Формула полной вероятности, формулы Байеса.

Тема 15.4. Испытания Бернулли.

Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона.

Тема 15.5. Случайные величины.

Случайные величины. Функция распределения случайной величины, её свойства. Дискретные случайные величины, полигон распределения. Непрерывные случайные величины, функция и плотность распределения. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Моменты случайной величины.

Тема 15.6. Основные вероятностные распределения.

Основные законы распределения: биномиальный закон распределения, закон распределения Пуассона, равномерный закон распределения, показательный закон распределения, нормальный закон распределения. Функция Лапласа, правило трёх сигм.

Тема 15.7. Применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы.

Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышёва. Теоремы Чебышёва и Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Тема 15.8. Системы случайных величин.

Системы случайных величин (случайные векторы). Функция и плотность распределения систем двух случайных величин, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в заданную область. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики систем случайных величин. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

Раздел 16. Математическая статистика.

Тема 16.1. Предмет и задачи математической статистики.

Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистические ряды. Числовые характеристики выборки. Полигон и гистограмма.

Тема 16.2. Некоторые замечательные статистические распределения.

Основные статистические распределения: χ²-распределение, распределение Фишера и Стьюдента.

Тема 16.3. Статистические оценки параметров распределения.

Статистические оценки параметров. Точечные и интервальные оценки. Методы нахождения точечных оценок: метод моментов Пирсона, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов. Интервальные оценки: доверительный интервал, уровень значимости. Доверительный интервал для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии.

Тема 16.4. Статистическая проверка гипотез.

Статистическая проверка гипотезы. Ошибки первого и второго родов. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий. Критерии согласия Неймана – Пирсона, χ²-Пирсона, А.Н. Колмогорова.

Тема 16.5. Линейная корреляция.

Понятие о регрессионном и корреляционном анализе. Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.

Тема 16.6. Нелинейная корреляция.

Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение.

Раздел 13. Операционное исчисление.

Тема 13.1. Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа: линейность; подобие; дифференцирование оригинала и изображения; интегрирование оригинала и изображения; запаздывание оригинала; смещение изображения; изображение свёртки. Формула обращения преобразования Лапласа. Теорема разложения.

Тема 13.2. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, уравнений с частными производными.

Раздел 14. Уравнения математической физики.

Тема 14.1. Вывод основных уравнений математической физики: колебаний струны; теплопроводности.

Тема 14.2. Методы Даламбера и Фурье решения уравнений математической физики.

Тема 14.3. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

Тема 14.4. Метод сеток решения уравнений математической физики.