24. A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.

Няхай K – камутатыўнае колца з 1, - зменная. Тады K[ ] – камутатыўнае колца з 1. K[ ][ ]= – колца паліномаў ад зменных , над колцам K. Элементы гэтага колца ёсць паліномы

- наз маномам, складнік f.

Каб знайсці суму 2 паліномаў, трэба скласці каэфіцыенты пры аднолькавых маномах і прывесці падобныя, а каб перамножыць – перамнажаем паводле дыстрыбутыўнасці і прыводзім падобныя складнікі.

Найбольшы паказчык пры у маномах з ненулявым каэфіцыентам наз ступеню f у дачыненні да і абазначаецца .

- наз поўнай ступеню манома .

Найбольшая з поўных ступеняў манома з ненулявымі каэфіцыентамі наз поўнай ступеню f і абазначаецца deg f. Нулявы паліном ступені не мае.

Паліном f наз аднародным паліномам ступені m (ці формай ступені m) калі ўсе яго маномы з ненулявымі каэфіцыентамі маюць поўную ступень K. Нуль будзем лічыць формай адвольнай ступені.

Тэарэма 1: Няхай K – камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Тады - камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Для адвольных ненулявых паліномаў

Тэарэма 2: Няхай K – камутатыўнае колца з 1, K - падколца колца S, якое таксама камутатыўнае колца з 1 і няхай – адвольныя паліномы з . Kалі , а , тады

Лексікаграфічны запіс паліномаў

Існуюць два натуральныя запісы паліному ад 1 зменнай: па нарастальных ступенях невядомай: і па спадальных ступенях невядомай: - старэйшы за маном (2)

Калі існуе лік k, 1≤k≤n, такі, што і будзем запісываць маном з ненулявым каэфіцыентам, які старэйшы за другі маном з ненулявым каэфіцыентам, раней за яго. У выніку атрымаўся запіс, які наз лексікаграфічным запісам палінома.

Першы складнік у лексікаграфічным запісе палінома наз старшым складнікам палінома.

Лема: Старшы складнік здабытку 2 паліномаў роўны здабытку старшых складнікаў гэтых паліномаў, калі здабытак каэфіцыентаў пры старшых складніках не роўны нулю.

25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).

К-камутат колца з адзінкай

Азн1.Паліном f(x₁,…,x_n) K[x₁,…,x_n] наз сіметрычным, калі ён не змяняецца пры перастаўленне

двух зменных f(x₁,…,x_i,…,x_j,…,x_n)= f(x₁, ,x_i-1,x_j,x_i,…

x_j-1,x_i,x_j,..,x_n) 1=<i<j=<n

Тэарэма1. Мн-ва ўсіх сіметрычных паліномаў з К[x₁,…,x_n] ёсць падколца колца К[x₁,…,x_n]

Тэарэма2. Палиномы σ₁=х₁+х₂+..+x_n

σ₂=х₁ х₂+х₁ х₃+..+ х₁x_n+ х₂ х₃+…+ х_n-1 х_n

σ₃=х₁ х₂ х₃+х₁ х₂х₄+….+ х_n-2 х_n-1 х_n

……………….

σ_n=х₁ х₂ х_n наз элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n зменных

Коэфіцыенты паліномаў ад адной зменных = элементарных сіметрычным паліномаў ад каранёў гэтага паліномаў са знакам “+” ці “--” наз формулы Віета

Тэарэма1(Пра сіметрычны паліном) Няхай К-камут колца з 1. Для адвольнага сіметрычнага паліному f(x₁,…,x_n) K[x₁,…,x_n] існуе адзіны паліном g(x₁,…,x_n) K[x₁,…,x_n] такі,што f(x₁,…,x_n)= g(ɓ ₁(x₁,…,x_n), ɓ ₂ (x₁,…,x_n),…, ɓ _n (x₁,…,x_n))