16. A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.

Няхай . – группа ў дачыненні да аперацыі множання адлюстраванняў. Элементы гэтай групы наз. падстановай мноства . –сіметрычная група.

Калі канцоўнае множества прадку n зручна лічыць, – сіметрычная група ступені n.

Падстанову абазначым . З таго, што – падстанова, г.зн. біекцыя вынікае – перастаўленне лікаў 1,2,…,n. Значыць лікі 1,2,…,n сустракаюцца адзін і толькі aдзін раз.

Тэарэма 1: Парадак групы роўны n! .

Азн.1: Няхай . Падстанова абазначаецца ( ) і наз. цыклам даўжыні k.

Азн.2: Цыклы ( ) і ( ) наз. незалежнымі ці неперасякальнымі, калі . Незалежныя цыклы перастановачныя.

Тэарэма 2: Адвольная падстанова ёсць здабытак незалежных цыклаў даўжынняў больш ці роўных за 2. Прычым расклад у здабытак незалежных цыклаў адназначны з дакладнасцю да парадку сумножніка.

Вынік 1: Парадак падстановы роўны НСК даўжыняў яе незалежных цыклаў.

Азн.3: Цыкл даўжыні 2 наз. транспазіцыяй

.

Вынік 2: Адвольная падстанова з раскладаецца ў здабытак транспазіцыяў.

Тэарэма 3: Няхай , – раскладанне у здабытак транспазіцыяў. Цотнасць ліку k не залежыць ад раскладу (1), а залежыць толькі ад .

Азн.4: Падстанова наз. цотнай, калі яна раскладацца ў здабытак цотнай колькасці транспазіцыяў, і няцотнай, калі яна раскладаецца ў здабытак няцотнай колькасці транспазіцыяў.

Вынік 2^, спараджаецца мноствам ўсіх транс-цыяў.

Тэарэма 4: Мноства ўсіх цотных падстановаў з ёсць падгрупа групы парадку .

Група наз. зменназнакавай групай ступені n.

18. A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.

Азн.1: Ізамарфізм групы наз аўтамарфізмам групы мноства ўсіх аўтамарфізмаў групы .

Тэарэма 1: Aut G – група ў дачыненні да аперацый множання адлюстравання.

Доказ вынікае з уласцівасцей ізамарфізму.

Уласцівасці ізамарфізмаў групаў:

– ізамарфізм (адвольная група ізаморфная сама сабе)

2.Калі – ізамарфізм, - ізамарфізм, тады – ізамарфізм;

3.Калі , - ізамарфізмы групаў, тады – ізамарфізм ( ).

Прыклады:

1.Для адвольнага колца K адлюстраванне ёсць ізамарфізм.

2.Разгледзім адытыўную групу C . . Вызначым - ізамарфізм групаў.

22. A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.

Азн.1: Няхай G і - групы з аперацыямі • і *. Адлюстраванне наз гомамарфізмам групаў.

Прыклады:

1.G і – адвольныя групы, . Адлюстраванне

- відавочна ёсць гомамарфізм групы, які наз нулявым.

2.G . Відавочна гомамарфізм групы, які наз укладаннем групы G у .

Уласцівасці гомамарфізмаў групаў:

1.Няхай – гомамарфізм групаў, тады – гомамарфізм групаў.

Няхай – гомамарфізм групаў, тады:

2.Калі e – адзінка групы G, а – адзінка , тады .

3. .

4.Калі H < G, тады: .

5.Калі H⊲ G, тады .

6.Калі , тады .

7. .