4. A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу. (5)

Азн.1: Падколца I колца K наз. Двухбаковым ідэалам колца K, калі: .

Тэарэма 1(крытэр ідэалу): з’яўл. Ідэалам колца K к.іт.к. яно задавальняе наступным умовам:

.

Вынікае з азн. ідэала і другога крытэру падколца.

Прыклады:

1.Няхай n фіксаваны цэлы лік, абазначым праз ;

2. Няхай F – поле

Сцв.1: Няхай - колца з 1 і I змяшчае абарачальны элемент колца К, тады I=K.

Доказ: Няхай - абарачальны элемент у К, г.зн. . Тады наступная роўнасць:

Тэарэма2: У полі F адзінымі ідэаламі з’яўл. (0), F -трывіяльныя, а ўсе астатнія не трывіяльныя.

Азн.2: Камутатыўнае колца з 1 ≠0, у якім кожны ідэал галоўны, наз. колцам галоўных ідэалаў.

Тэарэма 3: Колца цэлых лікаў Z ёсць колца галоўных ідэалаў.

Тэарэма 4: Няхай F – адвольнае поле, колца паліномаў F[x] ёсць колца галоўных ідэалаў.

Тэарэма 5: Колца рэштаў з – колца галоўных ідэалаў

Азн.3: Ідэал I≠K колца K наз.максімальным ідэалам колца K, калі ён не змяшчаецца ў большым ідэале колца K няроўным K, г.зн.

Сцв.2: Ідэал (n) колца Z максімальны ў Z к.іт.к. n – просты лік.

Сцв.3: Няхай F – поле, f(x) , ідэал (f(x)) максімальны ў F[x] к.іт.к. f(x) непрыводны паліном.

5.B. Галоўны ідэал. Колцы галоўных ідэалаў.

Азн.2: Камутатыўнае колца з 1 ≠0, у якім кожны ідэал галоўны, наз. колцам галоўных ідэалаў.

Тэарэма 3: Колца цэлых лікаў Z ёсць колца галоўных ідэалаў.

Доказ: Няхай , нулявы ідэал (0) – галоўны, таму будзем лічыць,што , зн. . Разaм з a (-a ), і таму ў I ёсць дадатны лік. Няхай b - мінімальны дадатны лік з I. Пакажам, што . , бо . падзелім на b з астачай

З доказу вынікае, што адвольнае падколца колца Z ёсць галоўны ідэал Z.

Тэарэма 4: Няхай F – адвольнае поле, колца паліномаў F[x] ёсць колца галоўных ідэалаў.

Тэарэма 5: Колца рэштаў з – колца галоўных ідэалаў

Тэарэмы 4, 5 даказваюцца аналагічна тэарэме 3.

Азн.3: Ідэал I≠K колца K наз.максімальным ідэалам колца K, калі ён не змяшчаецца ў большым ідэале колца K няроўным K, г.зн.

Сцв.2: Ідэал (n) колца Z максімальны ў Z к.іт.к. n – просты лік.

Доказ: (0)- не максімальны ў Z,(1)=(-1) Z – не максімальны далей можна лічыць, што n>0, бо n=(-n).

1. Няхай n – складовы лік, г.зн. n=KS, 1<k, s<n , тады не максімальны.

2. Няхай n - просты лік n=p, пакажам:(p) - максімальны ідэал Z. , з таго, што p – просты =>p і a узаемна простыя і зн.адзінку можна запісаць: 1=pu+aδ, u,δ , p – максімальны ідэал Z.

Сцв.3: Няхай F – поле, f(x) , ідэал (f(x)) максімальны ў F[x] к.іт.к. f(x) непрыводны паліном.

8. A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў.(10) Азначэнні, прыклады, уласцівасці.

Азн.1: Няхай K,R – колцы. Адлюстраванне наз. гомамарфізмам колцаў, калі

, .

{Азн.2: Адвольны гомамарфізм колцаў ёсць ізамарфізм.}

Прыклады:

1.Няхай K і R – адвольныя колцы, 0’ - нуль колца R. Адлюстраванне , - гомамарфізм. Гэты гомамарфізм наз.нулявым.

2.Для адвольнага колца K адлюстраванне ёсць ізамарфізм.

3.Няхай P – падполе поля F, : адлюстраванне – гомамарфізм колцаў, .

Уласцівасці гомамарфізмаў колцаў:

Няхай – гомамарфізм колцаў, тады:

1. Калі 0 – нуль колца K, а 0’ - нуль колца R, тады ;

2. ;

3. Калі – падколца колца K, тады – падколца колца R, - вобраз мноства: ;

4. Калі – падколца колца R, тады – падколца колца K, - поўны правобраз ;

5. ;

6. Няхай – сюр’екцыйны гомамарфізм, тады:

   1. Калі K – колца з 1, тады – адзінка колца R;

   2. Калі K – колца з 1, a - абарачальны элемент K, тады – абарачальны элемент R і ;

   3. Калі ;

7. Калі - гомамарфізм, тады: - гомамарфізм.

Азн2. Няхай : K→R гомарфізм 0^,-нуль R, поўны правобраз нуля ^-1 (0^,)={ аєК| (a) є 0^,}=^det Ker наз ядром 

Т эарэма1. Няхай : K→R гомарфізм колцаў тады Ker K.

Т эарэма2. Няхай І К, f:K→K/I, f(a)=a+I, аєК тады f-сюрьекція гомарфізма колцаў, Ker=I