- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2. A. Колца(19), поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца(4). Два крытэры падполя.(2)
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4. A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу. (5)
- •5.B. Галоўны ідэал. Колцы галоўных ідэалаў.
- •8. A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў.(10) Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14. A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15. A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.(8)
- •16. A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18. A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22. A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24. A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
- •1. A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
4. A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу. (5)
Азн.1: Падколца I колца K наз. Двухбаковым ідэалам колца K, калі: .
Тэарэма 1(крытэр ідэалу): з’яўл. Ідэалам колца K к.іт.к. яно задавальняе наступным умовам:
.
Вынікае з азн. ідэала і другога крытэру падколца.
Прыклады:
1.Няхай n фіксаваны цэлы лік, абазначым праз ;
2. Няхай F – поле
Сцв.1: Няхай - колца з 1 і I змяшчае абарачальны элемент колца К, тады I=K.
Доказ: Няхай - абарачальны элемент у К, г.зн. . Тады наступная роўнасць:
Тэарэма2: У полі F адзінымі ідэаламі з’яўл. (0), F -трывіяльныя, а ўсе астатнія не трывіяльныя.
Азн.2: Камутатыўнае колца з 1 ≠0, у якім кожны ідэал галоўны, наз. колцам галоўных ідэалаў.
Тэарэма 3: Колца цэлых лікаў Z ёсць колца галоўных ідэалаў.
Тэарэма 4: Няхай F – адвольнае поле, колца паліномаў F[x] ёсць колца галоўных ідэалаў.
Тэарэма 5: Колца рэштаў з – колца галоўных ідэалаў
Азн.3: Ідэал I≠K колца K наз.максімальным ідэалам колца K, калі ён не змяшчаецца ў большым ідэале колца K няроўным K, г.зн.
Сцв.2: Ідэал (n) колца Z максімальны ў Z к.іт.к. n – просты лік.
Сцв.3: Няхай F – поле, f(x) , ідэал (f(x)) максімальны ў F[x] к.іт.к. f(x) непрыводны паліном.
5.B. Галоўны ідэал. Колцы галоўных ідэалаў.
Азн.2: Камутатыўнае колца з 1 ≠0, у якім кожны ідэал галоўны, наз. колцам галоўных ідэалаў.
Тэарэма 3: Колца цэлых лікаў Z ёсць колца галоўных ідэалаў.
Доказ: Няхай , нулявы ідэал (0) – галоўны, таму будзем лічыць,што , зн. . Разaм з a (-a ), і таму ў I ёсць дадатны лік. Няхай b - мінімальны дадатны лік з I. Пакажам, што . , бо . падзелім на b з астачай
З доказу вынікае, што адвольнае падколца колца Z ёсць галоўны ідэал Z.
Тэарэма 4: Няхай F – адвольнае поле, колца паліномаў F[x] ёсць колца галоўных ідэалаў.
Тэарэма 5: Колца рэштаў з – колца галоўных ідэалаў
Тэарэмы 4, 5 даказваюцца аналагічна тэарэме 3.
Азн.3: Ідэал I≠K колца K наз.максімальным ідэалам колца K, калі ён не змяшчаецца ў большым ідэале колца K няроўным K, г.зн.
Сцв.2: Ідэал (n) колца Z максімальны ў Z к.іт.к. n – просты лік.
Доказ: (0)- не максімальны ў Z,(1)=(-1) Z – не максімальны далей можна лічыць, што n>0, бо n=(-n).
Няхай n – складовы лік, г.зн. n=KS, 1<k, s<n , тады не максімальны.
Няхай n - просты лік n=p, пакажам:(p) - максімальны ідэал Z. , з таго, што p – просты =>p і a узаемна простыя і зн.адзінку можна запісаць: 1=pu+aδ, u,δ , p – максімальны ідэал Z.
Сцв.3: Няхай F – поле, f(x) , ідэал (f(x)) максімальны ў F[x] к.іт.к. f(x) непрыводны паліном.
8. A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў.(10) Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
Азн.1: Няхай K,R – колцы. Адлюстраванне наз. гомамарфізмам колцаў, калі
, .
{Азн.2: Адвольны гомамарфізм колцаў ёсць ізамарфізм.}
Прыклады:
1.Няхай K і R – адвольныя колцы, 0’ - нуль колца R. Адлюстраванне , - гомамарфізм. Гэты гомамарфізм наз.нулявым.
2.Для адвольнага колца K адлюстраванне ёсць ізамарфізм.
3.Няхай P – падполе поля F, : адлюстраванне – гомамарфізм колцаў, .
Уласцівасці гомамарфізмаў колцаў:
Няхай – гомамарфізм колцаў, тады:
Калі 0 – нуль колца K, а 0’ - нуль колца R, тады ;
;
Калі – падколца колца K, тады – падколца колца R, - вобраз мноства: ;
Калі – падколца колца R, тады – падколца колца K, - поўны правобраз ;
;
Няхай – сюр’екцыйны гомамарфізм, тады:
Калі K – колца з 1, тады – адзінка колца R;
Калі K – колца з 1, a - абарачальны элемент K, тады – абарачальны элемент R і ;
Калі ;
Калі - гомамарфізм, тады: - гомамарфізм.
Азн2. Няхай : K→R гомарфізм 0,-нуль R, поўны правобраз нуля -1 (0,)={ аєК| (a) є 0,}=det Ker наз ядром
Т эарэма1. Няхай : K→R гомарфізм колцаў тады Ker K.
Т эарэма2. Няхай І К, f:K→K/I, f(a)=a+I, аєК тады f-сюрьекція гомарфізма колцаў, Ker=I