Тема 6. Средние величины.

1. Сущность и значение средней величины.

2. Виды средних и методы их расчета.

3. Структурные средние величины.

6.1. Сущность и значение средней величины.

Средняя – это один из самых распространенных приемов обобщений.

Средние величины являются обобщающими показателями, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность развития изучаемого явления. Средняя величина позволяет через единичное и случайное выявить что-то общее в развитии социального или экономического, общественного явления.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо варьирующему признаку, который показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности.

Средние должны рассчитываться по данным массового статистического наблюдения и для качественно однородных совокупностей, например, нельзя рассчитать средний уровень заработной платы по государственным и коммерческим предприятиям, так как средний показатель в этом случае теряет экономический смысл вследствие разнородности совокупностей.

Средние величины вычисляются для признаков, присущих всем единицам в данной совокупности (например, возраст, рост, вес), но эти единицы должны быть качественно однородны (то есть, отдельно, для мужчин и женщин).

Правило: средние величины должны исчисляться на основе массового обобщения фактов и применяться к качественно однородным совокупностям. Нельзя рассчитывать средние в такой совокупности, отдельные части которой подчиняются разным законам развития в отношении исследуемого признака (например, доходы капиталистов и рабочих).

Средняя отражает то общее, типичное, что складывается в отдельном изучаемом явлении, поэтому она должна дополняться другими аналитическими показателями, так как за общими благополучными средними могут скрываться серьезные недостатки.

Каждая средняя величина характеризует совокупность только по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное представление об изучаемом явлении (совокупности по ряду признаков), надо рассчитать систему средних величин.

Средние величины измеряются в тех же единицах, что и признак.

6.2. Виды средних и методы их расчета.

Средние, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних. Общая формула средней:

, где

x - меняющаяся величины признака (варианта)

n - число вариант

m - показатель степени средней

 - знак суммы «сигма»

- средняя величина.

Существуют следующие виды средних:

1. средняя арифметическая (часто применяется простая и взвешенная)

2. средняя гармоническая

3. средняя геометрическая (применяется чаще при исчислении средних темпов динамики)

4. средняя квадратическая (при исчислении показателей вариации)

1. Средняя арифметическая

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц, например, ФЗП = сумма заработной платы, выплаченной отдельным рабочим.

Среднее арифметическое получают делением суммы значений варьирующего признака на число этих значений.

1. простая

2. взвешенная

Таблица 1.

Среднюю арифметическую используют, когда частота у каждой варианты = 1

Три приема расчета средней арифметической (в зависимости от характера исходных данных):

1. если имеются значения варьирующего признака, полученные из наблюдения, то техника вычисления сводится к суммированию и делению.

2. чаще в статистической практике: имеется общий объем значений и численность единиц совокупности – деление (ФЗП и ср/сп. численность  ср. з/пл)

3. средняя арифметическая на базе вариационного ряда:

• дискретного (по формуле средней арифметической взвешенной)

• интервального

Таблица 2.

Для расчета средней в интервальном ряду надо перейти к дискретному ряду, т.е. по каждой группе исчисляется средняя по простой арифметической

При открытых интервалах (до 700руб.) берут значение последующего интервала или предыдущего.

Свойства средней арифметической

1. произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты. (1055,0*500=527500)

2. если от каждой варианты отнять какое-либо число, то новая средняя уменьшится на то же число

3. если к каждой варианте прибавить какое-либо число, то новая средняя увеличится на то же число

4. если каждую варианту разделить на какое-либо число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз

5. если каждую варианту умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз

6. если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится так как не изменится удельный вес каждой частоты 2, 6, 10, 12, 29, 22, 16, 3 в сумме дадут 100.

7. сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равняется 0

Эти свойства применяются для упрощения расчетов средней, особенно в интервальных рядах

, где , где

m_i – момент первого порядка

i – величина интервала

A – произвольная постоянная величина, обычно центральная варианта ряда.

Такой способ расчета средней называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля.

2. Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической, то есть рассчитанная из обратных значений признака. Применяется, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на их обратные значения.

, где =x*f

Таблица 3.

Расчет среднего % выполнения плана.

1. (102,5%)

2. - если за веса взять факт, то есть нет данных по плану (102,5%), то есть средняя гармоническая применяется, когда нет данных о частотах (весах) по отдельным вариантам, но есть информация об их произведении (варианты*частоты). В практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная (как в примере); бывает простой; она применяется, если произведения (объемы явлений) по каждому признаку равны, взяты за единицу.

3. Средняя геометрическая – средний показатель, который вычисляется как корень n-ой степени из произведения вариант х (х1,х2…)

4. Средняя квадратическая – показатель вариации признака,