18. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации.

Возьмем входной сигнал , выходной тогда , а первая гармоника будет иметь вид . Для вычисления эквивалентного гармонически линеаризованного коэффициента усиления , где – коэффициент, определяющий амплитуду получившегося сигнала, а – коэффициент, определяющий сдвиг по фазе для неоднозначных нелинейностей. Для определения этих коэффициентов требуется минимизировать погрешность . Среднеквадратичное отклонение . Тогда условием минимизации погрешности будут: .

Заменяем переменную на :

Для однозначной нелинейности будет существовать только коэффициент :

Для неоднозначной нелинейности будут существовать оба коэффициента:

19. Понятие об эквивалентном комплексном коэффициенте усиления нелинейного элемента.

Эквивалентным гармонически линеаризованным коэффициентом усиления нелинейного элемента называют (или в полярных координатах , где и , то есть коэффициент усиления первой гармоники и ее сдвиг по фазе). Для однозначной нелинейности будет существовать только коэффициент :

Для неоднозначной нелинейности будут существовать оба коэффициента:

Вычислить коэффициенты можно из формул, полученных при минимизации разницы реального выходного сигнала и первой гармоники:

Пример для двухпозиционного реле с гистерезисом с параметрами ±d точек переключения и ±c позиций реле:

Тогда получим для комплексного коэффициента усиления: . Или в полярных координатах модуль , фаза . Эти формулы справедливы только для , в обратном случае изначальное состояние реле неизвестно и результатом является неопределенность.

20. Нормированные коэффициенты гармонической линеаризации

Для того чтобы не зависеть от параметров нелинейности при расчетах, используются нормированные коэффициенты линеаризации. Например, для зоны насыщения эквивалентный коэффициент усиления . Для построения шаблона, то есть логарифмической характеристики нелинейности, преобразуем коэффициент к виду , где , а . Другие нелинейности также нормируются для использования шаблонов (избавить функцию от зависимости от d и c). Шаблон для зоны насыщения:

Для неоднозначной нелинейности, например, для двухпозиционного реле с гистерезисом, коэффициент будет . Нормированный модуль будет в таком случае , где , а . Фаза в таком случае . Построенные шаблоны:

21. Метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса позволяет предсказывать выходной сигнал системы с нелинейными элементами. Метод является приближенным, не имеет ограничения на порядок передаточной функции линейной части, но порядок знаменателя должен быть хотя бы на единицу больше порядка числителя (линейная часть должна быть фильтром низких частот). Для использования метода на входе нелинейного метода находится гармоническое решение (например ), сигнал с выхода заменяется на его первую гармонику в разложении Фурье, затем с помощью уравнения Гольдфарба находятся пересечения годографов линейной и нелинейной частей и проводится анализ их устойчивости. Уравнение Гольдфарба: .

Для нахождения эквивалентного гармонически линеаризованного коэффициента усиления нелинейной части можно воспользоваться формулами:

Для однозначной нелинейности будет существовать только коэффициент :

Для неоднозначной нелинейности будут существовать оба коэффициента:

(где – первая гармоника разложения Фурье выходного сигнала). Также коэффициент усиления нелинейной части удобно представить в полярных координатах , где и .

Затем на комплексной плоскости строится уравнение Гольдфарба, то есть пересечение годографа линейной части и :

Н апример, получилось две точки пересечения годографов. Это значит, что могут быть периодические решения. Если бы пересечений годографов не было – то периодических решений даже не могло бы возникнуть. В случае если линейная часть была устойчивой, критерий Попова говорит, что устойчивое периодическое решение возникнет в той точке, где при положительном приращении в точке пересечения приведет к выводу этой точки из-под охвата годографом линейной части. В данном случае при приращении в точке точка войдет под охват годографа, а при приращении в точке – выйдет. Значит вторая точка является периодическим решением. В случае если линейная часть неустойчива и охват идет в отрицательном направлении – неустойчивость будет в любом случае. Если же охват идет в положительном направлении, то с большой вероятностью (так в лекциях) в данном случае будет устойчивое положение равновесия (охват в пол-оборота). Также уравнение Гольдфарба можно разложить на уравнения для фаз и амплитуд: или .

Тогда методика отыскания периодического решения сводится к графическому методу, когда строится логарифмическая характеристика линейной части и ищется пересечение с графиками по уравнениям выше.

Но для использования метода требуется нормировать коэффициента гармонической линеаризации , то есть избавить их от зависимости от параметров нелинейностей c и d (иногда m).