Пространство переменных состояний:
1. Уравнение Ляпунова для исследования устойчивой линейной системы.
Об
устойчивости линейной системы можно
судить, используя уравнение Ляпунова.
Для его вывода мы обозначим функцию
Ляпунова
.
Эта функция определена в окрестностях
положения равновесия системы, в нуле
она равна нулю. Функция Ляпунова убывает
с течение времени, поэтому
,
вычисляем:
,
Q
– положительно определенная матрица
NxN.
Чтобы нулевое решение автономной
линейной системы было асимптотически
устойчивым, необходимо и достаточно,
чтобы для производной положительно
определенной матрицы Q
существовала положительно определенная
матрица P,
удовлетворяющая уравнению Ляпунова.
Уравнение Ляпунова для линейных систем:
.
Можно доказать, что Q
симметрична
Для
удобства можно брать в качестве Q
единичную матрицу.
2. Переходная матрица. Методы ее нахождения и ее свойства.
Переходная
матрица
позволяет отыскать решение
в пространстве переменных состояний,
начиная с некоторого значения
до ∞.
Она должна удовлетворять уравнениям:
,
где E
– единичная матрица.
Чтобы
отыскать каким образом переходная
матрица связана с
,
будем варьировать векторную переменную
:
Дифференцируем
систему:
,
сравниваем с уравнением в пространстве
переменных состояний:
,
домножим
на обратную переходную матрицу
:
Интегрируем
это выражение:
Так как при
выполняется второе уравнение переходной
матрицы, то
.
Получаем уравнение:
.
Обратная переходная матрица:
.
Решение системы в общем виде:
,
где
.
Для нахождения переходной матрицы
требуется иметь матрицу
,
с ее помощью мы находим корни
характеристического уравнения
.
Затем решаем n
уравнений
(где n
– порядок системы), откуда узнаем
матрицу
.
Переходная
матрица:
,
где
,
где
– решения
.
Второй способ нахождения переходной матрицы:
Для
случая стационарных систем
,
.
Применим
преобразование Лапласа к диф. уравнению:
.
Следовательно,
Третий
способ нахождения переходной матрицы:
,
где
– элемент переходной матрицы, представляет
собой описание переходного процесса
по i-ой
координате вектора состояния при
заданных единичных начальных условиях
на j-ую
координату вектора состояний при
остальных координатах равных нулю.
Свойства переходной матрицы:
- Переходная матрица полностью определена
- Переходная матрица является невырожденной
3. Решение линейной нестационарной системы в пространстве состояний.
Переходная матрица позволяет отыскать решение в пространстве переменных состояний, начиная с некоторого значения до ∞. Она должна удовлетворять уравнениям:
, где E – единичная матрица.
Чтобы отыскать каким образом переходная матрица связана с , будем варьировать векторную переменную :
Дифференцируем систему: , сравниваем с уравнением в пространстве переменных состояний:
, домножим на обратную переходную матрицу :
Интегрируем это выражение: Так как при выполняется второе уравнение переходной матрицы, то . Получаем уравнение: . Обратная переходная матрица: . Решение системы в общем виде: , где .