Метрология
.pdfPi |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
P1,P2 - вычисляются.
Вероятности хвостовых интервалов не вычисляются. Это 1 Pвсего2остального
Изатем ni Pi n - получатся дробные значения количества попаданий на интервал – округлять до целых не надо.
Инадо проверить выполнение равенства: ni n , где n - длина выборки.
Условие выполняется, если А если критерий выполняется, то нет оснований отвергнуть эту гипотезу.
Если практич превысило теоретич в таблицы, то нет оснований принять гипотезу, то есть правильно, что отвергли её. Если практич не превысило теоретич , то нет оснований отвергнуть гипотезу.
Этапы обработки результатов измерений
1)Выборка наблюдений (получить ее или она может быть задана). Удобно построить вариационный ряд.
2)Оценки мат. ожидания и среднеквадратического отклонения
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
xi |
|
||
X |
|
|
||||
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
1 |
n |
2 |
||
|
|
xi x |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
3) |
Правило 3 - исключение промахов (если промахи есть, то надо |
|
пересчитать) – сначала исключаем промахи, а потом проверяем, а |
|
нормальный ли был закон. |
4) |
Проверка гипотезы (критерий 2 ). |
|
– Количество наблюдений, Количество интервалов L n … Ширина |
интервалов xi , Количество наблюдений, попавших в каждый из этих интервалов. Построить гистограмму.
8
–Теоретическая вероятность Pi попадания в каждый из полученных интервалов (из таблицы Лапласа) или по нашей таблице Pi 2i , i из
x
таблицы для i i .
–Теоретическое количество попаданий наблюдений в наши интервалы ni Pi n
– |
практ2 |
|
ni ni 2 |
|
L |
ni |
–Сравнить практ2 и теорет2 , где теорет2 - из таблицы. Определяем уровень значимости q 2% 10%, число степеней свободы - k L 2 1 .
Если практ2 теорет2 , то нет оснований отвергнуть данную гипотезу.
Т.е. должно быть практ2 теорет2 Если нет – помещаем промахи обратно. И все заново.
5)Если закон нормальный, то можно пользоваться таблицей Стьюдента
|
x |
|
(здесь n уже очищенное, т.е. после исключения промахов). |
||||||||||||
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) |
д |
|
|
|
|
, |
|
P |
- из таблицы, тогда можем |
o |
x |
|
t |
|
x , где первый |
|
|
|
|
|
|
Pд ,n |
|||||||||
|
|
n 1 |
|
д,n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множитель – коэффициент Стьюдента (из таблицы).
– мы получили предварительную запись результата измерений, которая подлежит дальнейшей обработке с целью приведения результата к виду по ГОСТу.
9
Лекция 9 Погрешности средств измерений
Погрешности средства измерения относятся к инструментальной погрешности. Инструментальная погрешность может быть
По характеру проявления:
–Систематической
–Случайной
По форме представления
–Абсолютная
–Относительная
–Приведенная
Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности
средства измерения к нормирующему значению A .
N
Нормирующее значение – это условно принятое значение, могущее быть равным верхнему пределу измерений, диапазону измерений, длине шкалы и т.д.
Приведенная погрешность является постоянной. Погрешности так же могут быть
–Аддитивные – не зависят от значения измеряемой величины, т.е. не изменяются.
–Мультипликативные – зависят от значения измеряемой величины. По динамическому проявлению:
–Статическая погрешность – это погрешность измерения постоянно величины.
–Погрешность в динамическом режиме – погрешность измерения переменной величины.
–Динамическая погрешность – это разность между статической погрешностью и погрешностью в динамическом режиме при измерении величины одного и того же размера.
1
Пример. Есть вольтметр.
Измеряем какое-то постоянное напряжение. Пусть есть некоторая погрешность.
U |
стат |
|
|
U |
д.р. |
||
|
|||
|
|
Потом измеряем этим вольтметром переменное (т.е. гармоническое) напряжение.
Все приборы измеряют действующее значение.
Подбираем такую амплитуду, чтобы действующее значение было равно постоянному значению U .
Тогда динамическая погрешность д ст д.р.
AX |
|
A |
|
A Xp |
|
Xид |
|
X р |
Xид |
Мы хотим получить линейную зависимость. Наклон градуировочной характеристики – чувствительности.
AX AXp AXид - отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины, т.е. погрешность средства измерения по выходу.
X Xp Xид - это погрешность средства измерения, приведенная ко входу.
2
Лекция 10 Аддитивная и мультипликативная погрешность
Аддитивная погрешность – постоянна. Поэтому ею мы можем поглотить нелинейность – это если погрешность систематическая. А если погрешность случайная, то при аддитивном характере погрешности все это превращается в зону неопределенности.
AX AX S x x
AX AX Sx S x
AX S x , т.к. x const 0 - обозначили.
То зона неопределенности равна 2 0 . И в виде абсолютной погрешности представляет собой постоянную величину (т.к. погрешность аддитивна).
2 x
|
AX |
|
S x |
|
0 |
|
A |
|
S x |
|
x |
|
X |
|
|
|
|
При аддитивном характере погрешности относительная погрешность средства измерения изменяется в пределах диапазона измерений по гиперболическому закону.
|
|
|
100% |
DИ |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
Xкон |
X |
DИ - теоретически разумный диапазон изменения, это приведенная погрешность 0 , т.е. пронормированная по Xкон .
1
Мультипликативная погрешность – изменяется вместе с изменением измеряемой величины. Она увеличивается при увеличении измеряемой величины.
Ее можно интерпретировать через градировочную характеристику
AX |
AXид |
Xид |
Ее можно рассматривать, как некоторую добавку к чувствительности S :
AX AX S 1 S x S x S S x
AX S S x
x
x - приведенная мультипликативная погрешность по входу.
d
2 S x
Т.е. видим, что это функция.
Относительная погрешность
|
AX |
|
S S x |
S const |
|
X |
S x |
||||
|
|
|
Т.е. при мультипликативном характере погрешности абсолютная погрешность меняется, а относительная остается постоянной.
Класс точности.
Класс точности должен быть устойчивой характеристикой, чтоб по возможности не меняться в диапазоне измерений. А с другой стороны он должен быть выражен в виде погрешности. Отсюда и получается, что класс точности измерительных приборов задается несколькими возможными вариантами.
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначение |
Пример |
|
|
|
Формула погрешности |
|
|
|
|
класса |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
записи |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точности |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В виде абсолютной погрешности: |
|
|
|
|
Римские |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
цифры, |
|
||||||||||||||||
x a - аддитивная составляющая |
|
L |
|||||||||||||||||||
|
латинские |
||||||||||||||||||||
x a bx - мультипликативная |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
буквы |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В виде относительной погрешности: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,2 |
100 Nx |
p |
|
|
- |
|
аддитивный |
|
характер |
p; |
0,1; |
|||||||||||
погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
100 |
Ax |
q |
|
|
|
- |
|
мультипликативный |
|
|
|
||||||||||
|
|
Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характер погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x a bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
x |
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
E55Fk |
|
EFk |
|
|
|
|
c |
|
0,1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
0,0 |
|||
100 c d |
k |
1 |
- совместное действие |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аддитивной |
|
|
|
и |
|
|
|
мультипликативной |
|
|
|
||||||||||
погрешностей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Лекция 11 Формы представления результатов измерений
ГОСТ 8.011, МИ-1317-86
1)Результат измерения может быть представлен именованным или неименованным числом.
2)Совместно с результатом измерения должны быть представлены характеристики его (результата) погрешности.
3)Результаты измерений с многократными наблюдениями должны сопровождаться указанием количества наблюдений и интервала времени, за которые они получены.
4)Совместно с результатом измерения могут быть представлены и другие сведения и условия проведения измерений.
5)Младшие разряды численного значения результата измерения и характеристик его погрешностей должны быть одинаковы.
6)Характеристики погрешности должны быть выражены числом, содержащим не более двух значащих чисел.
Формы представления погрешностей измерений.
Характеристики погрешностей могут быть представлены в трех формах.
x
2.1. x - среднеквадратичным отклонением полной погрешности результата измерений.
2.2.Нижней и верхней границей доверительного интервала l x, h x, l x, h x .
2.3.Отдельными составляющими:
-неисключенной систематической;
-случайной.
Ссоставляющие в свою очередь могут быть представлены:
Случайной: o x , x (т.е. только СКО).
Систематической: s x , s x или интервалом sl x, sh x, sl x, sh x .
1
2.4. К точечным характеристикам нужно указать закон распределения. К интервальным характеристикам нужно указать доверительную вероятность (т.к. интервал доверительный).
2.5.При одинаковых значениях нижних и верхних границ интервала можно указать одно значение со знаком .
2.6. Рекомендованное значение доверительной вероятности Pд 0.95 (только если количество наблюдений не меньше 40).
2.7. Для промежуточных результатов (т.е. которые подлежат дальнейшей обработке) рекомендуется точечные характеристики погрешность, а для окончательных – интервальные.
Значащие цифры числа – это все цифры, кроме нулей слева, а также нулей справа, которые заменяют собой отброшенные при округлении цифры.
Пример: |
|
|
|
2.87 |
– три значащие цифры; |
|
|
0.01 |
– одна значащая чифра; |
|
|
3.6200 – зависит от округления. |
|
|
|
если получено при округлении из 3.6200x - то пять значащих цифр, если из |
|||
3.620x - то четыре, если из 3.62xx - то три. |
|
|
|
|
Значащие цифры, заслуживающие доверия. |
|
|
Десятичное позиционное число представляется |
A ak qk ak 1qk 1 |
... ak m qk m , |
|
где ak 0;q 1 , q - основание системы счисления, |
k - позиция, qk |
- порядок |
числа.
Говорят, что если абсолютная погрешность не превышает половины младшего порядка, т.е. 1210k m , то все n m 1 цифр этого числа заслуживают доверия.
А если превышает, то не все.
Цифры, не заслуживающие доверия, загромождают результат измерения и создают ложное впечатление высокой точности полученного результата.
Цифры, не заслуживающие доверия, принято округлять.
2
Пример Получен результат: 43.288 0.03 (неименованное число).
Определить число цифр, заслуживающих доверия.
0.03 0.05 12 10 1 , т.е. k mд 1, где k - старший порядок, определяется из
43.288
записи числа: k 1. Тогда mд 2, nд 3, значит заслуж. , получаем: 43.29,
доверия
оставляем одну цифру, не заслуживающую доверия. Погрешность нужно не приписать, а пересчитать:
43.258 43.288 43.318
При округлении, интервал съехал в сторону с Pд 0.95 на 0.002 вправо. Правило! Интервал нужно пересчитать так, чтобы новый интервал был не
меньше старого:
0.028
43.29
0.032
Но так писать нельзя.
Результат: R 43.29, l 0.04 , h 0.03 , Pд 0.95, n 40, T ....
a - относительная погрешность.
Если уменьшить (т.е. оставить только старшее произведение)
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 10k m |
1 |
10 |
m |
|
1 |
10 |
m 1 |
|
1 |
1 |
n 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
ak 10 |
k |
|
ak 10 |
k |
2ak |
|
2ak |
|
|
10 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ak |
|
|
|
|||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lg350 - посчитать так, чтобы lg |
0.1% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
можно догадаться, что lg350 2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
1 n 1 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 3 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
10 |
|
|
|
10 - это неравенство будет выполняться, если |
|
n 4.
3