Метрология

Лекция 6 Обработка результатов однократных измерений

Прямые многократные измерения в большей мере относятся к лабораторным измерениям. Для производственных процессов более характерны однократные измерения. Однократные прямые измерения являются самыми массовыми и проводятся, если: при измерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, имеет место экономическая целесообразность. Эти измерения возможны лишь при определенных условиях:

–объем априорной информации об объекте измерений такой, что модель объекта и определение измеряемой величины не вызывают сомнений;

–изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;

–средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам.

За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается, как правило, равной 0,95.

Методика обработки результатов прямых однократных измерений приведена в рекомендациях МИ 1552—86 'ТСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений". Данная методика применима при выполнении следующих условий: составляющие погрешности известны, случайные составляющие распределены по нормальному закону, а неисключенные систематические, заданные своими границами 0,, — равномерно.

Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются:

–погрешности СИ, рассчитываемые по их метрологическим характеристикам;

–погрешность используемого метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае;

1

–личная погрешность, вносимая конкретным оператором. Если последние две составляющие не превышают 15% погрешности СИ, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность

используемого СИ. Данная ситуация весьма часто имеет место на практике. Названные составляющие могут состоять из неисключенных систематических

и случайных погрешностей. При наличии нескольких систематических погрешностей, заданных своими границами ± i либо доверительными границами

± i(P), доверительная граница результата измерения соответственно может быть рассчитана по формуле

где i(Pj) — доверительная граница i-й неисключенной систематической погрешности, соответствующая доверительной вероятности Pj;kj — коэффициент, зависящий от Pj и определяемый так же, как и коэффициент k; k = k(m,P) — коэффициент, равный 0,95 при Р = 0,9 и 1,1 при Р = 0,95. При других доверительных вероятностях он определяется в соответствии с ГОСТ 8.207—76.

Случайные составляющие погрешности результата измерений выражаются либо своими СКО Sxi, либо доверительными границами i(Р). В первом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности результата прямого однократного измерения определяется через его СКО Sx:

где zp — точка нормированной функции Лапласа, отвечающей вероятности Р. При Р = 0,95 ZF = 2. Если СКО Sxi определены экспериментально при небольшом числе измерений (n < 30), то в данной формуле вместо коэффициента zp следует использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий числу степеней свободы i-й составляющей, оценка которой произведена при наименьшем числе измерений.

В случае, когда случайные погрешности представлены доверительными границами i(Рi),соответствующими разным доверительным вероятностям Рi,

2

доверительная граница случайной погрешности результатов прямых однократных измерений

Найденные значения и (Р) используются для оценки погрешности результата прямых однократных измерений. В зависимости от соотношения и Sx суммарная погрешность определяется по одной из следующих формул:

Результат прямых однократных измерений должен записываться в соответствии с рекомендациями МИ 1317-86 в виде х ± (Р) при доверительной вероятности Р = Рд.

3

Лекция 3 Обработка результатов многократных измерений

Измерения с многократными наблюдениями проводятся для определения случайной погрешности. Если при повторных измерениях одной и той же величины результаты измерения отличаются друг от друга, то можно предположить, что это измерения отягчены случайными погрешностями. Случайные погрешности – это случайные величины.

Случайные величины – это величины и поэтому они должны иметь численные область определения и область значения. Если случайные величины является аргументами, то область значений и область определения совпадают. Со случайными функция мы будем реже иметь дело, чаще со случайными аргументами. Поэтому на числовой оси попытаемся отложить наблюдения: какието почаще, какие-то пореже, бывают вообще одинаковые значения

Совокупность значений наблюдений называется выборкой наблюдений, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения. Выборка имеет конечное значение. А вот непрерывные случайные величины могут принимать значения от до .

Случайные величины подчиняются некоторым законам.

– плотность распределения вероятности – вероятность найти случайную величину в определённой точке из области значений. С математической точки зрения это неверно, нужно написать предел.

Плотность распределения вероятности подлежит свойству нормирования:

p x dx 1

1

Нормальное распределение.

Часто на практике встречается нормальный закон распределения или гаусовский закон распределения.

Pн x

x

M x

M x - математическое ожидание – это центр группирования случайной величины.

Если выборка конечная, то в выборке может не быть ни одного значения равного математическому ожиданию.

2

- среднеквадратическое отклонение – это параметр функции распределения результатов наблюдений (результатов измерений), характеризующий их рассеивание и равный корню квадратному из дисперсии, взятому с положительным знаком.

и D - характеристики рассеивания.

xi % i - случайное отклонение. Тильда означает, что на конечной

M

x

x

выборке точно определить математическое ожидание невозможно. Случайное отклонение – это разность между результатом наблюдения и

средним значением.

Fн x

1

Вероятность найти случайную величину левее/правее математического ожидания для нормального распределения равна 12 .

Применение нормального закона?

1)Нормальный закон часто встречается на практике.

2)В тех частных случаях, когда результат измерения зависит от нескольких случайных величин, то если их много (на практике 3-5 штук), если они независимы, то, как бы они не были распределены, функция будет распределена по нормальному закону.

3)МИ 1317-86 – определяет методику обработки результатов многократных наблюдений и много чего другого. Вот в нём написано:

Если есть основания полагать, что функция плотности распределения наблюдений – функция симметричная, одномодальная и отличная от нуля на конечной области значений, то следует принимать закон близкий к нормальному усечённому.

3

Закон на рисунке подходит под это свойство ,но в математике это никакой ни нормальный закон, а треугольный закон Симпсона. Но на практике, многие математические законы не применимы, поэтому используют подобные упрощения.

P x

x

Возникает ещё вопрос, зачем нужна интегральная функция? Если назначим точки x1 и x2 , и нам удастся посчитать вероятность того, что случайная величина будет левее точки x2 и вероятность, того, что случайная величина будет правее

точки x1 . Тогда вычтя одно из другого, мы получим вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале, но этот интервал вероятностный, и мы всё равно возвращаемся к интегралу. Но интеграл Лапласа не вычисляется, он табличный.

При одном и том же случайном процессе, чем шире взятый интервал, тем вероятность найти там случайную величину больше, а чем больше будет характеристика рассеивания, то при одном и том же интервале вероятность найти там случайную величину будет меньше. Поэтому эта величина – некоторая характеристика случайного процесса.

Тогда d 1 dx dx d

4

В метрологии делают преобразования ещё дальше, потому что часто приходится высчитывать вероятность попадания случайной величины в симметричный интервал относительно математического ожидания.

Результаты измерений, отягченные случайными погрешностями, сами являются случайными результатами. Т.к. истинное значение величины определить невозможно, то мы можем указать интервал

Для случайной величины этот интервал является вероятностным.

Для нормального закона этот интервал (как и для других) определяется интегральной функцией вероятности, а также плотностью распределения вероятности.

P x

Доверительный интервал – верхние и нижние границы интервала, накрывающего с известной (заданной) вероятностью случайное отклонение результата наблюдения (либо результата измерения). Часто интересуются доверительным интервалом, симметричным, относительно математического ожидания.

Предположим, что проводим измерения с погрешностью и уже известно M U 1.27B , U 0.032B - среднеквадратичное отклонение.

5

Пример. Определить вероятность того, что произвольное наблюдение Ui

P 1.26B Ui 1.28B - лежит в этих пределах. Решение.

Замечаем, что интервал симметричный относительно математического ожидания.

вероятность того, что произвольное наблюдение лежит в указанных пределах. Аналогично решается обратная задача. В инженерной практике очень важным

является умение прикидывать примерный результат. Для нормального закона надо помнить три точки:

1)x , следовательно, 1 и P 0.68

2)x 2 , следовательно, 2 и P 0.95

3)x 3 , следовательно, 3 и P 0.997.

P x

Моменты законов распределения.

Моменты делятся на начальные и центральные.

У начальных моментов есть конечное начало относительно нулевой точки системы координат.

Формула: ak xk p x dx

Тогда a1 xp x dx M X и ak M X k

6

Начальные моменты интересуются положением функции на числовой оси. Центральные моменты центрированы относительно начала координат. Т.е. конечное начало выбрано.

k x M X k p x dx

Центральные моменты интересуются формой кривой. Первый центральный момент на практике не используется.

Третий центральный момент характеризует асимметрию функции плотности распределения.

P x

У нормального закона распределения скошенность равна нулю и все нечетные центральные моменты равны нулю.

7