Метрология

Четвертый центральный момент определяет островершинность распределения.

P x

Площади под всеми кривыми одинаковы.

Эксцесс ex 44 3 - у нормального распределения – ноль.

Случайную величину, таким образом, можно задать параметрами функции распределения.

Оценки моментов распределения.

На конечной выборке невозможно определить ни мат. ожидание, ни дисперсию, а только их оценки.

Оценки моментов распределения – это не есть упрощение формул, их предлагают, а затем определяют, насколько эта оценка хороша.

Критерии качества оценки:

1)Оценка называется состоятельной, если при увеличении количества наблюдений она приближается, сходится по вероятности, к самому оцениваемому результату.

2)Оценка называется несмещенной, если ее мат. ожидание равно самому оцениваемому параметру.

3)Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше, дисперсии всех других оценок, предложенных к рассмотрению.

8

Математическое ожидание

M X xp x dx - глядя на это, предлагается оценка:

наблюдений выборки.

В качестве оценки мат. ожидания предлагается среднее арифметическое.

Мат. ожидания отдельных наблюдений одинаковы, так же как и их характеристики рассеивания.

Т.е. i, j M Xi M X j M X и i, j D Xi D X j D X .

Тогда 1 n M Xi M X - т.е. среднее арифметическое является несмещенной n i 1

оценкой мат. ожидания.

n

Пусть у нас есть еще несколько линейных оценок. Возьмем M X ai xi .

i 1

Сравним их. Возьмем дисперсию

при равных коэффициентах ai 1n .

арифметическое обладает минимальной дисперсией. Т.е. данная оценка является эффективной.

При увеличении n эта оценка сходится (стягивается по вероятности) к мат. ожиданию. Поэтому средняя арифметическая оценка является состоятельной.

Т.е. она является несмещенной, состоятельной и эффективной.

9

Дисперсия.

Естественно предположить, что в качестве оценки дисперсии необходимо

взять величину D X 1 n x M X 2 n i 1

Чтобы исследовать эту оценку надо ее преобразовать:

M x M x 2

Рассмотрим среднее слагаемое:

Подставляем преобразования и получаем:

D x 1 n xi M x 2 M x M x 2 . n i 1

Теперь возьмем мат ожидание от предложенной нами оценки дисперсии:

Это исследование показывает, что предложенная оценка - смещенная на коэффициент nn 1 . Чтобы получить несмещенную оценку, надо ее поправить на этот коэффициент:

При неограниченном увеличении n эта оценка стремится к самой величине. Т.е. эти оценки состоятельные.

10

Лекция 8 Нормальное распределение, распределение Стьюдента. Доверительная

вероятность и доверительный интервал

Результат измерений – это численное значение результата с размерностью и обязательно приписанной погрешностью. За численный результат измерения принимается среднеарифметическая оценка мат ожидания, а также приписанная погрешность.

R x случайная погрешность. Что это такое? Пусть у нас есть числовая прямая, на ней можем отметить оценку мат ожидания и интервал (в общем случае он может быть несимметричным), в котором находится истинное значение измеряемой величины:

Чем это отличается от того, что мы писали раньше?

x a a - здесь мы говорили так: “если нам известно предельное значение погрешности измерения, то мы с единичной (100%) вероятностью сможем указать интервал, в котором находится истинное значение”. А здесь нет 100% вероятности. Это доверительный интервал – верхняя и нижняя границы интервала накрывающего с известной (заданной) вероятностью случайное отклонение результата наблюдения (результата измерений). Отличаются эти случаи характеристикой рассеивания:

Если используем оценку среднеквадратичного отклонения наблюдений, то получим доверительный интервал, накрывающий наблюдения:

Если используем среднеквадратическое отклонение среднеарифметических, то получим доверительный интервал, накрывающий результат измерения:

Рассеивание среднеарифметических результатов измерений меньше, чем рассеивание отдельных наблюдений.

1

Зайдем с другой стороны. Характеристика рассеивания наблюдений характеризует как наблюдения рассеиваются вокруг среднеарифметического, т.е. мат ожидания. Это есть некоторая точка, которая может не совпадать не с одним результатом наблюдений. Это центр группирования, вокруг которого рассеиваются наблюдения. Но как может рассеиваться среднеарифметическое, если оно одно? Т.е. мы взяли выборку наблюдений, подсчитали среднеарифметическое, т.е. оценку мат ожидания, и приписали еще ее

характеристику рассеивания через n . Задается сразу два вопроса тогда: вокруг чего они рассеиваются, и как может рассеиваться одно значение? Все просто: можно сделать выборку выборок n значений. Считаем среднеарифметическое у каждой из этих выборок (они будут разные). Тогда мы получим выборку среднеарифметических и можем получить дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Если n устремить к бесконечности, то дисперсия среднеарифметического будет стремиться к нулю, т.е. среднеарифметические будут стягиваться в точку, рассеиваться все меньше, пока не успокоятся совсем. А постоянной величиной является истинное значение.

Теперь, за счет n мы можем задать погрешность.

Если бы у нас было бы непрерывное распределение, о квантиль x .

M x - это 50%-ая квантиль.

А в конечной выборке, если число наблюдений не велико, то расчет вероятности, или интервала (они взаимосвязаны) по рассмотренной формуле приводит к большим погрешностям. Чтобы убрать эти погрешности, было предложено другое распределение. В 1908г. математик Госсет (псевдоним Student) предложил распределение, которое аппроксимирует нормальное распределение – распределение Стьюдента. Если квантили зависят от

2

вероятности, то квантили Стьюдента зависят от вероятности длины выборки:

tp,m x . По сути, здесь несколько распределений:

n– длина выборки, p – вероятность, t – квантили. Получится несколько таблиц, зависящих от n.

Для того, чтобы определить доверительный интервал из конечной выборки

x tp,m . Оценку посчитали из выборки, квантиль из таблицы. Получили интервал, в котором находится наблюдение:

xнабл tp,m

Для результата измерения:

xрез tp,m n tp,m x

Произвольное назначение доверительной вероятности является не совсем корректным. Можно вывести рекомендательную формулу для доверительной вероятности. Пусть у нас есть выборка наблюдений (n штук). Сделаем из нее вариационный ряд.

Вариационный ряд - выборка, упорядочная по возрастанию или по убыванию: x1 x2 ... xn .

Вычтем из каждого наблюдения оценку мат ожидания и получим следующий вариационный ряд:

x1 x2 ... xn

Три точки делят ось на четыре отрезка по 25%.

3

Ширину интервалов надо поварьировать, «подогнать», чтобы гистограмма максимально приблизилась к гипотезе нормального закона распределения.

В данном случае гистограмма является аппроксимацией функции плотности распределения.

Теперь необходимо посчитать количество наблюдений, которые попали в каждый из интервалов.

Цель гистограммы – создать впечатление о законе распределения. Полигон распределения – это ломаная кривая, аппроксимирующая

гистограмму.

Если в какой-то интервал не попало ни одного значения наблюдения, то можно объединить его с соседним.

Высота прямоугольника, построенного на каждом интервале должна быть пронормирована по ширине интервала, то есть не ni , а nxi i и только в случае,

когда равны все xi , можно рисовать прямоугольники высотой равной ni - количеству наблюдений попавших в интервал.

2)Нанесение вариационного ряда на вероятностную бумагу (как миллиметровка, бывает логарифмическая миллиметровка). Должна получиться прямая линия.

3)Совсем формализованные методы: Критерий согласия.

Самый распространённый метод: Критерий 2 Пирсона:

Сущность: сравнение двух гистограмм: практической и теоретической, которая была бы, если бы выборка была распределена по нормальному закону.

6

дисперсии, где ni - сколько бы наблюдений попало в интервал, если бы был

идеальный закон распределения. Таким образом, критерий 2 оценивает рассеивание практической гистограммы относительно теоретической.

Если дисперсия невелика, то можно работать с этой гипотезой.

Количественный критерий дисперсии определяется из таблицы для 2 .

увеличивается Уровень значимости – это вероятность (условная) отвергнуть верную

гипотезу, если принято решение её отвергнуть.

Число степеней свободы – это чувствительность критерия отклонения реальной гистограммы от теоретической.

Критерий зависит от количества интервалов. Если количество интервалов возрастает, то чувствительность тоже возрастает.

K L 2 1 , где 2 – число моментов, которые заданы, (2+1) - число связанных координат.

ni Pi n , где Pi - вероятность попадания в i-ый интервал, n – число наблюдений. Должно быть Pi 1

Из таблицы Лапласа

7