Всесторонний анализ остатков включает в себя оценивание:
–резко отклоняющихся экстремальных значений;
–смещенности остатков;
–случайности остатков на основе хронологического графика;
–случайности остатков в зависимости от каждого фактора, входящего в уравнение;
–случайности остатков в зависимости от расчетных значений. Наличие смещенности остатков определяется тем, что среднее их значение не равно нулю или статистически значительно отлича-
ется от нуля. В уравнениях регрессии, коэффициенты которых опре- делены по методу наименьших квадратов (МНК) или
другими ме- |
тодами (единое решение, |
ортогональная регрессия), |
смещенность |
остатков отсутствует. |
Как правило, наличие |
смещенности может иметь место для уравнений балансового вида (уравнение тепло- вого, водного и других видов баланса), где невязки уравнений ха- рактеризуют как неучтенные факторы, так и
все систематические |
погрешности составляющих. Смещенность |
остатков необходимо |
исключать или путем корректировки |
свободного члена уравнения, или тех коэффициентов и факторов, которые ее обусловили.
В связи с тем, что много зависимостей в климатологии строит- ся по многолетним рядам климатических характеристик и факторов (восстановление по аналогам, восстановление по рядам формирую- щих факторов и т.д.), необходим анализ случайности остатков в за- висимости от времени, который может осуществляться двумя путя- ми: а) применением известных статистических критериев оценки случайности и стационарности (критерии Стьюдента, Фишера и другие); б) применением
графического анализа остатков в зависи- мости от времени.
При случайном характере остатков от времени будет иметь ме- сто полоса рассеивания, параллельная оси времени (рис. 10.16). При неслучайном характере возможны следующие основные варианты, как показано цифрами на рис. 10.16: (1) – полоса разброса остатков сужается или расширяется, что связано с непостоянством диспер- сии остатков во времени; (2), (3) – полоса остатков имеет одинако- вую ширину, но изменяется (линейно или нелинейно) в зависимо- сти от времени, что свидетельствует о нестационарности средних значений остатков.
Установленная зависимость остатков от времени, как правило, обусловлена аналогичной зависимостью в одной или нескольких переменных уравнения. В этом случае необходимо искать причину
Рис. 10.16. Возможные виды полосы рассеяния для случайных и неслучайных остатков регрессионного уравнения
нестационарности, ее исключать (привести к стационарному виду) или учитывать.
Графики погрешностей строятся в зависимости от каждого фак- тора (Xi), входящего в уравнение. При этом возможны
следующие ситуации, как и в зависимости остатков от времени (см. рис. 10.16):
•зависимость отсутствует и полоса остатков горизонтальна и симметрична относительно нулевого значения, что свидетельствует о случайности погрешностей;
•зависимость представлена сужающейся или расширяющейся полосой остатков от фактора, что свидетельствует о неоднородно- сти дисперсии остатков, которую надо учитывать взвешенным МНК или предварительным преобразованием Yi;
•линейная зависимость остатков от фактора свидетельствует о том, что линейный эффект данного фактора в уравнении исключен неверно;
•нелинейная зависимость остатков от фактора свидетельству- ет о том, что в уравнение необходимо ввести нелинейные члены от Xi или произвести преобразование Yi.
При построении зависимости остатков от расчетного значе- ния Ÿi возможны те же ситуации в полосах рассеивания, что при
исследовании остатков от факторов.
Наиболее эффективной является проверка построенного эмпи- рического уравнения на независимом от расчета материале наблюде- ний. В этом случае условия проверки соответствуют практическому применению установленных зависимостей. Для независимой провер- ки часть исходной информации не включается в построение уравне- ния и используется в качестве «эталона» для сравнения с расчетом. Анализ остатков в случае независимой проверки
осуществляется
теми же способами: на резко отклоняющиеся экстремумы, в зави- симости от времени, факторов и расчетного значения. Необходимо отметить, что должен иметь место оптимум между количеством ин- формации, используемой для построения зависимости и для ее неза- висимой проверки.
В качестве примера построения статистических регрессион- ных моделей рассмотрим построение региональных интерполяци- онных зависимостей норм годовых сумм осадков (Хгод) от факто-
ров для территории Черноморского побережья Кавказа по данным 21 метеостанции. В качестве факторов выбраны: широта (φ), дол- гота (λ) и высота (Н) метеостанций. Для построения зависимости Хгод = f(φ, λ, Н) был проведен количественный анализ
эффективно- сти |
функциональных преобразований факторов и |
||
отклика. Помимо |
линейной зависимости рассматривались также |
||
функциональные |
преобразования в десятичные логарифмы. В |
||
|
|
Х год f , , Н ; Х год |
(10.55) |
результате были вы- браны следующие четыре структуры: |
|||
|
f lg , lg , lg Н ; lg Х год f |
(10.56) |
|
|
|
|
(10.57) |
|
|
lg , lg , lg Н ; |
|
|
|
|
|
|
|
lg Х год f , , Н |
(10.58) |
Для оценки эффективности функциональных преобразований
.
и выбора наиболее эффективной структуры пространственной за- висимости все коэффициенты парной корреляции были сведены в одну табл. 10.2, где (1) – факторы без преобразования; lg – пре- образование фактора в логарифм; lgХгод – преобразование осадков в
логарифм. В этой же таблице приведены средние значения коэф- фициентов парной корреляции (по модулю) для каждого вида функ- циональных преобразований. Из анализа данных табл. 10.2 следу- ет, что для широты и долготы парная связанность увеличивается, если осуществить преобразование сумм осадков в логарифмы, при это сами факторы в логарифмы можно и не переводить. Для вы- соты местности коэффициент парной корреляции возрастает, если для нее осуществить логарифмические преобразования. В резуль- тате, если в уравнение будут входить все три фактора, то наиболь- ший средний коэффициент парной корреляции r = 0,67 имеет место только при логарифмическом преобразовании осадков, то есть при структуре уравнения (10.58).
43
|
Коэффициенты парной корреляции |
Таблица 10.2 |
||
|
|
|||
|
при функциональных преобразованиях отклика |
|
||
|
φ |
λ |
Н |
Среднее |
(1) |
–0,44 |
–0,73 |
0,67 |
0,61 |
lg |
–0,45 |
–0,73 |
0,72 |
0,63 |
(1) lgХгод |
–0,54 |
0,82 |
0,65 |
0,67 |
lg, lgХгод |
–0,55 |
0,82 |
0,53 |
0,63 |
Полученное уравнение со статистически значимыми коэффи- циентами имеет следующий вид:
lg Х год 0, 258 0,340 – 21,520 при R 0,89
(10.59)
с вкладами факторов: φ – 85,6 % и λ – 14,4 %.
Если, помимо аддитивных слагаемых, в уравнение включить lg Х 0, 008234 – 11, 0703 при R 0,89 (10.60)
еще произведениягод факторов, то получим следующие два статисти- ческивключениемзначимыхвысоты:уравнения:
lg Х год –0,3790 – 0,0491Н 0,001126 Н 19,
795 |
(10.61) |
с вкладами факторов: φ – 36,2при%,R Н 0,90– 39,7 % и φН – 24,1 %.
Все остальные структуры уравнений дают меньшие коэффици- енты множественной корреляции. Например, если выбрать комби- нированную структуру Хгод = f(φ, λ, lgН), то полученные уравнения
имеют вид Х год 389,8 377,1lg H – 14367 при R |
(10.62) |
0,83 |
|
с вкладами факторов: λ – 78,2 % и lgH – 21,8 % |
(10.63) |
и с включением произведений факторов: |
Х год 25,148 – 41881 при R 0,82.
1.Алисов Б.П., Полтараус Б.В. Климатология. – М.: Изд-во МГУ, 1974. – 299 с.
2.Бокс Дж., Дженкинс Г. АнализЛитературавременных рядов. – М.: Мир, 1974. – 406 с.
3.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1991. – 379 с.
4.Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономи- ке. – М.: Статистика, 1972. – 312 с.
44
5.Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Статистика, 1973. – 392 с.
6.Климатология / О.А. Дроздов, В.А. Васильев, Н.В. Кобышева и др. – Л.: Гидро- метеоиздат, 1989. – 568 с.
7.Закс Л. Статистическое оценивание. – М.: Статистика, 1976. – 598 с.
8.Коняев К.В. Спектральный анализ случайных процессов и полей. – М.: Наука, 1973. – 168 с.
9.Лобанов В.А., Никитин В.Н. Региональные модели определения характеристик максимального стока в зависимости от гидрографических факторов //
Метеоро- логия и гидрология. 2006, № 11. – С. 60–69.
10.Малинин В.Н. Статистические методы анализа гидрометеорологической ин- формации: Учебник. – СПб.: РГГМУ, 2008. – 408 с.
11.Монин А.С. Введение в теорию климата. – Л.: Гидрометеоиздат, 1982. – 246 с.
12.Монин А.С., Шишков Ю.А. Климат как проблема физики. УФН. – 2000. Т. 170, № 4. – С. 419–445.
13.Определение основных расчетных гидрологических характеристик. СП 33- 101-2003. – М.: Госстрой России, 2004. – 73 с.
14.Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. – М.: Мир, 1981. – 693 с.
15.Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. – М.: Мир, 1973. – 957 с.
16.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975.
– 534 с.
17.Хромов С.П., Петросянц М.П. Метеорология и климатология. – М.: Изд-во МГУ, 2001. – 528 с.
18.CLIVAR. A study of climate variability and predictability. – Science Plan, WMO/TD No 690, 1995. – 157 pp.
19.MapInfo Professional. Руководство пользователя (полное). – MapInfo Corporation, Troy, New York, 2003. – 726 с.
Лекция 11. Применение моделей для исследования изменений климата
11.1. Исследование динамики климата: от прошлого к настоящему
Анализ 800-тысячелетней палеореконструкции. В примере рассмотрены результаты Европейского проекта ледяных кернов Ан- тарктиды (EPICA), содержащие информацию об изменении клима- та за последние 800 000 лет, полученную по керну льда, поднятого с глубины до 3259,7 [37]. На рис. 11.1 приведен ряд температуры воздуха, восстановленной по дейтерию в отклонениях от средней температуры за последнюю 1000 лет.
Основная особенность данных состоит в их разной дискрет- ности, которая варьирует от нескольких десятков лет в последний
период до тысячи (1 измерение в тысячу лет) для раннего перио- да времени. Свойство разной дискретности особенно существенно влияет на амплитуду 100-тысячелетних циклов, которая из-за этого является неоднородной, как следует из рис. 11.1. По условиям квази- однородной дискретности весь временной ряд палеореконструкции
а)
б)
Рис. 11.1. «Изотопная» температура воздуха, восстановленная за период 800 тыс. лет (а), и дискретность ее определения
в годах (б), где время по оси отложено от прошлого к
настоящему
46
разбит на пять квазиоднородных интервалов: 600–800 тыс. лет назад со средней дискретностью (dt) 1 измерение в 700 лет (1/700), интервал 430–600 тыс. лет с dt = 1/500, интервал 350–430 тыс. лет с dt = 1/300, интервал 130–350 тыс. лет с dt = 1/150 и последний, современный, интервал с dt = 1/50. Вычисленная за последний интервал времени скорость изменения температуры воздуха за 10 лет достигала по мо- дулю 0,3–0,4 °С, или 3–4 °С за столетие. Поэтому основной вывод состоит в том, что в последние 150 тыс. лет имели место скорости изменения температуры воздуха, соизмеримые со скоростью совре- менного потепления и даже превышающие ее [22].
Применение методов декомпозиции также позволило полу- чить количественную информацию о числе составляющих и харак- теристиках их циклов. На интервале 800 тыс. лет методами срезки и сглаживания амплитуд циклов были выделены процессы четырех
масштабов: 100-летнего масштаба со средним периодом Тср = 313 лет и средней амплитудой Аср = 1,7 °С (за последние 150 тыс.
лет), ты- сячелетнего с Тср = 4400 лет (при вариации от 2300 до 8800
лет за
разные интервалы дискретности) и Аср = 2,0 °С, десятитысячелетнего с Тср = 27 500 лет (при вариации от 23 300 до 48 000) и Аср = 3,2 °С и стотысячелетнего масштаба с Аср = 10 °С (за
последние 430 тыс. лет). Наибольшие амплитуды циклов составляют: 3,0–3,5 °С – для процес- са столетнего масштаба и 4–5 °С – для процессов остальные масшта- бов. Поэтому при наложении процессов разных временных масшта- бов изменения температуры в несколько градусов за столетие являют- ся вполне характерными за почти миллионную историю климата [4]. Одной из главных особенностей полученных результатов явля- ются хорошо выраженные циклы процесса 100-тысячелетнего мас- штаба, который является преобладающими по амплитуде и особен- но хорошо представлен полными четырьмя последними циклами и начавшимся пятым, современным. Эти циклы не являются симме- тричными и имеют непродолжительную ветвь относительно резко- го подъема примерно в 10–20 тыс. лет, затем небольшую продолжи- тельность пика также примерно в 10 тыс. лет и продолжительную ветвь спада с непостоянной скоростью, которая вначале большая, а затем уменьшается. Причем на ветви спада могут быть большие колебания температур. Если
рассматривать последний полный цикл, то он начался 141 тыс. лет
Анализ температуры за последние 45 тыс. лет. Хроноло- гический график более детальной палеореконструкции температу- ры за последние 45 000 лет, полученный также в рамках проекта EPICA, приведен на рис. 11.2, а. Рассматриваемый интервал вре- мени включает два квазиоднородных периода, как по дискретности
а)
б)
Рис. 11.2. Реконструкция температуры воздуха в Антарктике за последние 45 000 лет (а) и дискретность данных (б), время по оси отложено от прошлого к настоящему
48
данных, так и по температурному режиму. Первый интервал, от 45 до 17 тыс. лет назад, имеет среднюю дискретность одно измере- ние в 45 лет и включает окончание последнего ледникового пери- ода. Далее следует переход к голоцену, который начался приметно 12 тыс. лет назад, и здесь дискретность наблюдений составляет уже одно измерение в 10–20 лет.
Для каждого квазиоднородного периода осуществлена деком- позиция ряда двумя методами (срезки и сглаживанием амплитуд циклов) [18, 19] и выделены процессы столетнего и тысячелетнего масштабов (рис. 11.3). Для процесса тысячелетнего масштаба и для времени позднеледниковья средний период цикла Тср = 1330 лет и
Аср = 0,9 °С, для голоцена Тср = 1010 лет и Аср = 1,3 °С. Для
про-
цесса столетнего масштаба в позднеледниковье Тср = 203 года и Аср = 1,0 °С, а в современный период Тср = 96 лет и Аср = 1,5 °С.
Также продолжительность подъема циклов обычно меньше, чем продол- жительность спада, то есть имеет место резкое потепление
иболее продолжительный спад температуры при похолодании. Каких-либо закономерностей во времени ни для амплитуд циклов, ни для их пе- риодов не установлено.
Из-за большей частоты измерений данные последнего периода более надежны, особенно при определении амплитуд циклов. Поэ- тому можно сказать, что полученные различия параметров циклов позднеледниковья и голоцена обусловлены разной дискретностью данных, а амплитуды циклов процессов столетнего и тысячелетнего масштабов практически одинаковы и их наложение приводит к из- менению температуры 2–3 °С за столетие.
Изменения глобальной температуры за последние 1000– 1300 лет. В примере рассматриваются ежегодные данные шести различных палеореконструкций аномалий температуры Северного полушария (от нормы 1961–90 гг.), полученные разными авторами (Jones, 1998; Mannetal,1999; Briffa, 2000; Crowley&Lowery, 2000 и другие) по материковым индикаторам (керны, дендроинформация
ит.д.) для диапазона широт 20…90 °, приведенные на рис. 11.4 [15, 33, 34]. Прежде всего была проведена оценка связанности разных палеореконструкций и получено, что коэффициенты парной корре- ляции невысоки и варьируют от R = 0,35 до R = 0,69. Кроме того, палеореконструкции недостаточно тесно связаны с температурой воздуха Северного полушария, вычисленной по стационарным на- блюдениям за последний 150-летний период: R = 0,52–0,57 для ден-
дрореконструкций. Поэтому все сравнения можно проводить
В результате выполненной декомпозиции выявлены процессы трех временных масштабов: межгодового, десятилетнего и столет- него, а также части двух циклов процесса тысячелетнего масшта- ба. В процессе обобщения информации по характеристикам циклов установлено, что четыре палеореконструкции дают близкие резуль- таты, а две (Jones и Crowley&Lowery) существенно отличаются
а)
б)
Рис. 11.3. Декомпозиция «изотопной» температуры воздуха в Антарктике методом срезки (а) и методом сглаживания амплитуд циклов (б)
50