3. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ включает две основные составляющие:

-МНК для оценки вектора коэффициентов;

-дисперсионный анализ для оценки адекватности модели.

Оценки коэффициентов регрессионного уравнения получены при выполнении некоторых допущений, которые рассматриваются как предпосылки регрессионного анализа:

- количество экспериментальных данных ; здесь m-количество коэффициентов идентифицируемой модели

- распределение выходной величины y нормальное;

- в процессе эксперимента дисперсия y не изменяется (y стационарно по дисперсии);

- переменная х измеряется с пренебрежимо малыми ошибками (т.е. детерминирована);

- входные переменные х₁, х₂, х₃ стохастически независимы между собой, т. е. коэффициент корреляции между ними равен нулю;

- последующие друг за другом отборы выходной величины не коррелируют между собой

Для выполнения последнего допущения дискретность проведения экспериментов во времени t берется таким, чтобы последовательно взятые y1, y2, y3 были статистически независимы. Для этого t выбирается больше времени затухания автокорреляционной функции затухания y.

Учет динамики в регрессионном анализе производится в виде транспортного запаздывания между отборами x и y, которое определяется как время сдвига max взаимнокорреляционной функции относительно оси ординат.

В практике часто пользуются регрессионным анализом и при невыполнении этих допущений, но в этом случае необходимо проверять результаты по дополнительным экспериментам.

4. Построение одномерной модели методом наименьших квадратов

Критерий МНК равен сумме квадратов отклонений расчетного значения от экспериментального на анализируемом интервале времени:

Этот критерий является функциональным и представляет собой, зависимость от двух функций экспериментального и расчетного значения.

1 у=2х → y=f(x); x→ y;

2 Оператор Лапласа;

3 Функционально: I=f(x),

Задача идентификации включает 2 этапа:

- Выбор структуры (уравнения модели, системы уравнений, вид уравнений);

- Параметрическая идентификация – определение коэффициентов – параметров модели.

Определение структуры модели производится на основании знаний по данному процессу из курсов физики, данных литературных источников, экспериментальных оценок специалистов по данному процессу. При отсутствии информации структура может быть выбрана на основе анализа экспериментальных данных, то есть по графическим зависимостям выходных параметров от входных факторов, подбираются уравнения.

Параметрическая идентификация заключается в нахождении таких значений параметров, которые обеспечивают минимального значения выбранного критерия МНК. При линейных моделях используется регрессионный анализ, построенный на основе МНК. При нелинейных и динамических моделях используются численные методы оптимизации (метод Ньютона, метод трапеций). Эти задачи называются задачами нелинейного программирования и формулируются как: I → min и рассчитывается значение

5. Применение t-критерия

Чтобы оценить доверительный интервал, используют t-критерий, при заданном уровне значений b и количестве экспериментов υ, где υ используют для того чтобы узнать на какой кривой необходимо работать.

В качестве X могут быть случайные величины, например, коэффициенты корреляции и коэффициенты регрессии.

Например, имеется случайная величина. Оценка случайной величины может отличаться от истинной характеристики и от оценки, например, коэффициента регрессии при истинном нулевом значении, при этом сама величина может быть ненулевой.

Например, истинное значение отличается от оценки не более чем на величину , если наша оценка больше чем , то считается, что значение .

6. - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Проведем эксперимент. Рассмотрим множество реализаций случайного процесса и для каждого случайного процесса произведем выборку значений.

Введем нормализованные, то есть стандартные переменные:

Найдем квадраты этих переменных:

Рассчитаем сумму:

Полученную случайную величину, обозначим:

Это случайная величина, которая имеет все характеристики случайных величин, в том числе функцию распределения.

- распределение интересно тем, что такая величина получается при анализе дисперсии, а дисперсия это характеристика разброса случайных величин.

Если мы имеем дело с системой измерений, то эта характеристика будет являться точностью измерения. Если это система регулирования, то характеристика будет являться точностью регулирования.

Функция распределения зависит только от числа степеней свободы, то есть функция распределения является функцией от числа степеней свободы.

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ - РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Среднее значение для - распределения:

- число степеней свободы

Дисперсия для - распределения:

В практике статического анализа нас интересует значение обратное по функции распределения, то есть те значения случайной величины, которые имеют заданную вероятность.

Методика определения двухстороннего доверительного интервала:

Задана функция распределения случайной величины, показатель надежности, которой является вероятностью для заданной функции вероятности. Он определяет площадь под функцией распределения, в пределах которой гарантировано должна находиться случайная величина. Справа и слева остаются «хвосты», площадь которых равна

Вероятность попадания случайной величины левой границы равная ,

правой части

По таблицам обратной функции распределения (t-критерий, - распределение) находим отклоненную величину, которая определяет правую и левую часть границы.