vostrikov

Полагаем, что необходимо обеспечить ошибку в системе равной нулю:

lim (v y(k )) 0 ,

k

и для этого будем использовать астатическую процедуру синтеза. Корректор статики в этой процедуре выбирается в виде дискретного интегратора, передаточная функция которого

k

Ks (z) z 1 ,

где k – параметр регулятора, коэффициент, подлежащий вычислению. Корректор динамики представляет собой динамическое звено с пе-

Выведем основные соотношения метода. В соответствии со структурной схемой рис. 7.32 выражение для выхода имеет вид

262 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Подставим в последнее выражение вместо Ks(z) его передаточную функцию:

В статике k , z 1 и, как видно из равенства (7.48), ошибка в установившемся режиме будет равна нулю при любых входе и возмущении.

Рассмотрим теперь характеристическое уравнение замкнутой системы и для этого приравняем нулю знаменатель из выражения (7.48):

(z 1) kW(z) (z 1)Kd (z)W(z) 0.

Подставим в это выражение передаточную функцию объекта (7.46) и корректора динамики (7.47):

Преобразовав соотношение (7.49), можно получить характеристическое уравнение синтезируемой системы

Порядок характеристического уравнения системы равен (n + 1), т. е.

необходимо задать (n + 1) желаемый корень zi , i 1, n 1 , откуда формируется желаемый характеристический полином:

Приравнивая левую часть характеристического уравнения (7.50) и желаемый характеристический полином (7.51), получим основное рабочее соотношение для нахождения искомых параметров регулятора (корректоров статики и динамики):

Далее необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частях уравнения (7.52) и получить систему из (n + 1) уравнения для нахождения di и k . Легко убедиться, что

число искомых параметров совпадает с числом уравнений, система уравнений является линейной и, следовательно, имеет единственное решение.

Передаточную функцию объекта до начала синтеза следует непременно представить в стандартном нормированном виде.

Обратим внимание на тот факт, что при получении характеристического уравнения синтезируемой системы (7.50) из выражения (7.49) для упрощения расчетов был сокращен полином B(z). Это означает, что в системе есть ненаблюдаемая часть, которая должна быть устойчивой для того, чтобы система в целом оставалась устойчивой. Из этого вытекает требование «обратимости» объекта, т. е. обратная передаточная функция

W 1(z) A(z) B(z)

должна быть устойчивой, корни полинома B(z) должны удовлетворять условию

zi 1, i 1,(n 1) .

Проверка обратимости объекта управления должна выполняться до начала процедуры синтеза.

Рассмотрим теперь процедуру модального метода синтеза для статических систем.

Структурная схема синтезируемой системы (рис. 7.32) остается без изменений, корректор статики представляет собой пропорциональное звено:

Ks k .

Выражение для ошибки системы принимает вид

Данная процедура синтеза предполагает, что задается абсолютная

ное значение при заданных пределах изменения входа vmax и возмуще-

ния Mmax.

Как мы видим, методика синтеза по выходу предполагает обратную связь по выходной переменной и это очень удобно при практическом синтезе, поскольку уменьшает чувствительность систем к погрешностям построения математической модели объекта.

ПРИМЕР 7.12

Для объекта, математическая модель которого задана передаточной

выполнить синтез регулятора, используя процедуру модального метода синтеза статических систем по выходу. Изобразить структурную схему регулятора, реализованную на звеньях задержки. Желаемые свойства системы заданы корнями: z1 0, 2 . Ошибка в статике 1;

Mmax 0 .

Проверим управляемость объекта. Для этого представим его модель в

устойчив, объект обратим.

В соответствии с (7.54) характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Уравнение статики системы

Используя два последних уравнения, запишем систему уравнений для искомых параметров регулятора:

Передаточную функцию корректора динамики приведем к нормированному виду:

Структурная схема синтезированной системы приведена на рис. 7.33.

7.5.5. ПРОЦЕДУРА МОДАЛЬНОГО МЕТОДА СИНТЕЗА ПО СОСТОЯНИЮ

Эта процедура предполагает обратные связи по переменным состояния, что предъявляет более высокие требования к точности построения моделей объектов управления.

Пусть задана модель объекта в матричной форме, а управление формируется в виде обратных связей по состоянию объекта:

x(k 1) Ax(k) Bu(k),

(7.57)

u(k) Kx(k).

Будем считать, что вектор состояния x(k) полностью измерим. Матрица обратных связей K, как видно из системы уравнений (7.57), имеет следующую размерность:

K Rm n

Подставим управление в уравнения объекта:

x(k 1) Ax(k) B( Kx(k)) ,

Из уравнения (7.58) сформируем характеристический полином синтезируемой системы и приравняем его желаемому C(z), найденному аналогично (7.55):

Порядок характеристического уравнения системы равен n, следовательно, число уравнений, порождаемых основным расчетным соотношением (7.59), также равно n, т.е. меньше, чем количество искомых коэффициентов матрицы K, поэтому часть коэффициентов можно задать произвольно, часто их задают нулевыми, но n штук коэффициентов матрицы K должны остаться свободными.

Рекомендация: при выборе свободных коэффициентов ki, j матри-

цы K (n штук) необходимо, чтобы в каждый коэффициент характеристического уравнения при степенях z левой части последнего равенства (7.59) вошел хотя бы один из свободных коэффициентов.

Реализация статики в многоканальной системе

В управляющее воздействие добавляется еще одна составляющая

где D Rm m – квадратная матрица, обеспечивающая требуемые статические свойства системы; v – входное задающее воздействие; мер-

ности векторов традиционные: (u, y, v) Rm .

Преобразуем систему уравнений (7.60), подставив управление в первое уравнение:

7.5.6. ПРОЦЕДУРА МОДАЛЬНОГО МЕТОДА СИНТЕЗА ПО СОСТОЯНИЮ ДЛЯ ОДНОКАНАЛЬНОГО ОБЪЕКТА

Модель объекта стандартная, и управляющее воздействие формируется так же, как для многоканального объекта (7.57).

Отличие от предыдущей процедуры только в мерностях векторов и матриц:

(u, y, v) R1,

K R1 n ,

матрица K – теперь матрица строка.

Процедура синтеза значительно облегчается, если модель объекта представить в «прямой» форме (см. подразд. 7.2.9), при этом полагаем, что коэффициенты матриц А, В, С порождены передаточной функцией одноканального объекта:

Если выпишем уравнения замкнутой системы (7.61):

x(k 1) ( A BK )x(k) ,

то матрица правой части вычислится следующим образом: