vostrikov

Рис. 7.23. Отображение корней на плоскость псевдокорней

Аналитически такое преобразование выглядит следующим образом:

Процедура использования билинейного преобразования:

1) записать характеристическое уравнение линейной импульсной системы

3) привести полученное уравнение к общему знаменателю и приравнять числитель нулю:

(см. подразд. 4.2.1).

Учтем, что экспонента с мнимым показателем степени – периодическая функция:

Выражение (7.32) позволяет сделать вывод, что частотная характеристика решетчатого сигнала – периодическая функция (рис. 7.24) с периодом, равным 0 :

x*( jω)

Рис. 7.24. Спектральная характеристика решетчатого сигнала

Найдем частотную характеристику исходного непрерывного сигнала:

0

Заменим точное интегральное соотношение (7.33) на приближенное в виде суммы:

Поставим задачу восстановить непрерывный сигнал из решетчатого. Эту задачу можно решить с помощью идеального фильтра (ИФ) с прямоугольной частотной характеристикой, изображенной на рис. 7.25 штрихпунктирной линией. Схема такого эксперимента иллюстрируется структурой, приведенной на рис. 7.26.

Как видим, при max < 0/2 (рис. 7.25, а) это сделать удастся. В случае, когда max > 0/2 (рис. 7.25, б), это невозможно, что подтверждает рис. 7.25, в, на котором показана спектральная характеристика сигнала, восстановленного с помощью ИФ.

Рис. 7.26. Схема восстановления непрерывного сигнала из решетчатого

Таким образом, можно сделать вывод: для того чтобы восстановить непрерывный сигнал из квантованного с помощью идеального фильтра (ИФ) с прямоугольной частотной характеристикой, необходимо выполнить соотношения

Последнее соотношение и есть формулировка утверждения Котель- никова–Шеннона.

Если неравенство (7.35) выполняется, то можно говорить о том, что шаг квантования достаточно мал. При таком шаге квантования выход объекта будет «гладким» несмотря на ступенчатый вид управляющего воздействия.

7.3.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТАСТИНА

Это преобразование позволяет получить дискретную передаточную функцию линейного объекта из его исходной непрерывной передаточной функции:

W ( p) B( p) . A( p)

При малом шаге квантования справедлива следующая замена переменной:

Обоснования

1. Запишем аналитическое выражение, связывающее операторы p и z, а затем разложим логарифм в ряд Тейлора:

Впоследнем выражении отбросим все члены ряда, кроме первого.

2.Воспользуемся методом трапеций для аппроксимации процедуры интегрирования (рис. 7.27).

u(t )

Рис. 7.27. Иллюстрация метода трапеций для аппроксимации процедуры интегрирования

Запишем значение интеграла, найденное по методу трапеций для моментов времени k и k – 1, соответственно это будут функции y(k)

и y(k – 1):

Для того чтобы избавиться от суммы, вычтем одно из другого и перепишем полученное выражение в операторной форме:

Найдем отношение изображений (напомним, что y – это интеграл от u):

ПРИМЕР 7.8

Модель непрерывной динамической системы задана передаточной функцией

5

W ( p) p 1 .

Используя преобразование Тастина, найти дискретную модель объекта, записать ее передаточную функцию. Шаг дискретизации по времени

Т= 0,1 с.

Всоответствии с выражением (7.36) при заданном T найдем связь между операторами:

подставим найденное значение оператора p в заданную передаточную функцию:

Замечание. Преобразование Тастина можно использовать только для анализа процессов в линейных импульсных системах и при достаточно малом шаге квантования по времени Т, корни знаменателя при этом воспроизводятся достаточно точно, но порядок числителя при таком переходе всегда получается равным n независимо от свойств непрерывного объекта.

7.4. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

7.4.1. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА

Практика проектирования импульсных систем предполагает две основные задачи расчета процессов.

Задача 1 – анализ свободных движений в системе (анализируется однородное разностное уравнение):

при заданных начальных условиях

x(0) x0 .

Свободные движения вычисляются следующим образом:

x(1) Ax0 ,

...

x(k) Ax(k 1) Ak x0.

В результате для любого заданного момента времени k при заданных начальных условиях можно найти значение вектора состояния

Задача 2 – анализ полных движений в системе:

при известных начальных условиях и заданной последовательности управляющих воздействий:

x(0) x0 , u(0), u(1), ..., u(k 1) .

Полные процессы рассчитываются аналогично свободным, на основе исходного разностного уравнения (7.39):

Как видим, полные процессы складываются из двух компонент: первая – свободные движения, определяемые начальными условиями; вторая – вынужденные движения, определяемые последовательностью управляющих воздействий.

ПРИМЕР 7.9

Дискретная система задана линейным разностным уравнением

Найти реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях для k 0,...,5 .

Сдвинем аргумент в исходном разностном уравнении

Рис. 7.28. Вид процесса, полученного в примере 7.9

7.4.2.ПРОЦЕССЫ МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ

Вимпульсных системах имеет смысл говорить о процессах предельного быстродействия и для этого нетрудно получить соответствующие формальные условия.

Рассмотрим процессы в линейной импульсной системе, которые описываются разностным уравнением

x(k 1) Ax(k) Bu(k) .

Характеристическое уравнение системы имеет вид

Оказывается, в линейных импульсных системах процессы могут заканчиваться не более чем за n шагов, где n – порядок системы. Такие процессы называют процессами минимальной длительности.

Утверждение: для того чтобы процессы в системе заканчивались не более чем за n шагов, все собственные числа матрицы A должны быть равны нулю:

zi 0, i 1, n .

Доказательство данного утверждения основано на следующей теореме.