- •1. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры.
- •2. Функция распределения и плотность вероятности 2-мерной случайной величины, их свойства, примеры.
- •3.Числовые характеристики 2-мерной случайной величины и свойства этих характеристик. Примеры.
- •4. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •5. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •6. Генеральная совокупность. Выборки и способы их получения. Репрезентативная выборка.
- •7. Точечные статистические оценки неизвестных параметров генеральной совокупности и их свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •8. Метод наибольшего (максимального) правдоподобия, алгоритм нахождения точечной оценки с его помощью.
- •9. Выборочная средняя как точечная оценка генеральной средней, ее несмещенность и состоятельность.
- •10. Выборочная дисперсия как точечная оценка генеральной дисперсии, ее смещенность и состоятельность. Несмещенная оценка генеральной дисперсии.
- •12. Интервальная оценка мат. Ожидания нормально распределенного признака при известном среднем квадратическом отклонении.
- •13. Определение необходимого объёма повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней.
- •14. Статистическая проверка статистических гипотез. Виды гипотез, ошибки первого и второго рода. Критическая область и область принятия гипотезы, определения, примеры.
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •16. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормальной совокупности (распределение «хи-квадрат»).
- •17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.
- •18. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •19. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессий. Выборочная ковариация.
- •20. Оценка тесноты связи. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
3.Числовые характеристики 2-мерной случайной величины и свойства этих характеристик. Примеры.
Рассмотрим числовые характеристики двумерных случайных величин и их свойства.
-
Математическое ожидание
Пусть (x , h ) - двумерная случайная величина, тогда M(x , h )=(M(x ), M(h )), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.
Если (x , h ) - дискретный случайный вектор с распределением
|
y1 |
y2 |
... |
ym |
x1 |
p11 |
p12 |
... |
p1m |
x2 |
p12 |
p12 |
... |
p2m |
... |
... |
... |
pij |
... |
xn |
pn1 |
pn2 |
... |
pnm |
то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:
, .
Эти формулы можно записать в сокращенном виде.
Обозначим и , тогда и .
Если p(x , h )(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (x , h ), то
и .
Поскольку -плотность распределения случайной величины x , то и, аналогично, .
-
Дисперсия
Приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.
Если (x , h ) - двумерная случайная величина, то
Dx = M(x - Mx )2 = Mx 2 - M(x )2, Dh = M(h - Mh )2 = Mh 2 - M(h )2.
Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.
-
Условное математическое ожидание
Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x 2, то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической.
Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.
Для двумерного дискретного случайного вектора (x , h ) с распределением
|
y1 |
y2 |
... |
ym |
x1 |
p11 |
p12 |
... |
p1m |
x2 |
p12 |
p12 |
... |
p2m |
... |
... |
... |
pij |
... |
xn |
pn1 |
pn2 |
... |
pnm |
условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина hпринимает значение yj, вычисляется по формуле .
Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение xi, равно .
Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h , т.е. M(x /h = y) = f1(y) и, совершенно аналогично, M(h /x = x) = f2(x).
Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h , а f2(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x .
Если p(x ,h )(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x ,h ), то
и .
-
Ковариация
Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x , h ). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x , h )=M[(x - Mx )(h - Mh )] = M(x h) - Mx Mh .
Если случайные величины x и h независимы, то cov(x ,h )=0.
Свойства ковариации:
cov(x , x ) = Dx ;
;
;
,
где C1 и C2 - произвольные константы.
Ковариационной матрицей случайного вектора (x ,h ) называется матрица вида
.
Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x ,h ).
Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Если же случайные величины зависимы, то .
-
Корреляция
Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции .
Этот коэффициент обладает следующими свойствами:
- он безразмерен;
- его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
если x и h независимы, то k(x ,h )=0 (обратное неверно!);
если , то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида h = ax +b, где a и b- некоторые числовые коэффициенты;
;
Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица
.
Если и , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (x ,h ) связаны соотношением , где .