1. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры.

Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения.

Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х₁ – температура, Х₂ – давление, Х₃ – влажность воздуха, Х₄ – скорость ветра. Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости .

Пример 1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы

Y X	2	5	7
-1	0,11	0,13	0,23
3	0,1	0,12	0,09
4	0,11	0,08	0,03

Решение. Так как

-1	3	4
0,47	0,31	0,22

_{, то проводя суммирование по строкам таблицы 6.1.2 получим распределение Х:}

Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y:

2	5	7
0,32	0,33	0,35

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y.

Пример 2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл., найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что .

Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам

, .

Тогда

а) , ,

.

Условный закон распределения Х при условии имеет вид

-1	3	4
0,394	0,364	0,242

Контроль: .

б) Аналогично находим условный закон Y при условии .

2	5	7
0,5	0,364	0,136

Контроль: .

2. Функция распределения и плотность вероятности 2-мерной случайной величины, их свойства, примеры.

Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.

где

X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:

где вероятность суммируется для всех xi < x и yi < y.

Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1.Функция 0 ≤ F(x,y) ≤ 1, т.е. величина неотрицательная меньше 1.

2.Функция F(x,y) есть возрастающая функция по каждому из аргументов.

3.Функция распределения F(x,y) = 0, если хотя бы один из аргументов x или y стремится к минус бесконечности.

4.Функция F(x,y) равна функции от одного аргумента F(x) (F(y)), если y (x) стремится к бесконечности.

5. Функция F(x,y) равна 1, если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности.