- Критерий Пирсона

Пусть x₁, x₂, …, x_n – выборка из некоторой генеральной совокупности X (X - случайная величина), F(x) – предполагаемая функция теоретического распределения X.

F(x) – это интегральная функция распределения случайной величины X. Пусть в качестве теоретического распределения выбрано нормальное распределение со средним квадратическим отклонением  и мат. ожиданием а.

- НОРМРАСП(x, а, , истина)

Н₀: F(x) – это интегральная функция распределения случайной величины X.

1. На основании выборки построим интервальный вариационный ряд {_i, f_i} i=1,…,m, где f_i – число элементов выборки, попавших в интервал _i =[a_i, a_i+1); m – количество интервалов.

При этом f_i называют эмпирическими частотами,

2. Для каждого интервала _i =[a_i, a_i+1) вычислим теоретические вероятности попадания случайной величины X в этот интервал pi=P(a_i<=X<=a_i+1)=F(a_i+1)-F(a_i)

np_i – называют теоретическими частотами

(n – число элементов в выборке, )

3. В качестве критерия согласия берем случайную величину . Известно, что она имеет распределение (распределение Пирсона) с числом степеней свободы k=m-r-1, где m – число интервалов вариационного ряда, r – число параметров теоретического распределения (Например, у нормального распределения два параметра: математическое ожидание и дисперсия, у распределения Пуассона один параметр - математическое ожидание).

Вычисляем

4. Для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы k=m-r-1 по специально составленной таблице -распределения найдем . (статистическая функция Excel ХИ2ОБР(;k))

5. Если >, то Н₀ отвергается, т. е. функция распределения F(x) выбрана неверно, если <=, то Н₀ принимается, т. е. с вероятностью (1-) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Замечания

1. Критерий Пирсона можно применять, только если n>30.

2. В каждом интервале _i =[a_i, a_i+1) должно быть по крайней мере 5 наблюдений (f_i>=5), иначе соседние интервалы объединяют и m уменьшается.

Критерий Романовского

Основан на использовании критерия Пирсона, т. е. уже найденных и числа степеней свободы k.

При С<3 расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями считаются случайными, если C>3, то неслучайными, и, следовательно, теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Критерий Колмогорова

Дан вариационный ряд

xi
fi

1. Строятся эмпирическая функция распределения Fn(x) (накопленные частости, n – число элементов в выборке, ) и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x) (параметры закона распределения F(x) считаются известными)

2. Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями . Известно, что эта случайная величина распределена по закону Колмогорова.

3. Для заданного уровня значимости  по таблице распределения Колмогорова найдем _{критич.}()

   	0,4	0,3	0,2	0,1	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
   ()	0,89	0,97	1,07	1,22	1,36	1,48	1,63	1,73	1,95	2,03

4. Если _набл. > _{критич.}, то Н₀ отвергается, закон распределения F(x) выбран не верно,

если _набл. <= _{критич.}, то Н₀ не противоречит опытным данным.