1.Чи забезпечує принцип оптимальності незалежність наступних розв’язків від здобутих раніше?

Будь-яку багатокрокову задачу можна розв’язувати по-різ­ному:

- або знаходити одразу всі елементи розв’язку на всіх кроках, -

-або будувати оптимальне управління поступово, крок за кроком – Тобто на кожному етапі розрахунків оптимізуючи лише один крок.

Як правило, другий спосіб оптимізації є значно прості­шим, ніж перший.

Динамічний процес поділяється на сукупність послідовних етапів або кроків. На кожному етапі оптимізується тільки один крок, а рішення, під впливом якого система переходить з поточного стану в новий, вибирається з врахуванням його наслідків у майбутньому.

Плануючи багатокроковий процес, необхідно обирати управління на кожному кроці з урахуванням його майбутніх наслідків на тих кроках, які ще попереду. Лише на останньому кроці можна прийняти рішення, яке дасть максимальний ефект, оскільки наступного кроку для нього не існує.

Отже можна сказати, що для прийняття оптимального рішення на k-му кроці багатокрокового процесу потрібна оптимальність рішень на всіх його попередніх кроках, а сукупність усіх рішень дає оптимальний розв’язок задачі лише в тому разі, коли на кожному кроці приймається оптимальне рішення, що залежить від параметра етапу , визначеного на попередньому кроці.

Цей факт є основою методу динамічного програмування і є сутністю так званого принципу оптимальності Р. Белмана, який формулюється так: Оптимальний розв’язок багатокрокової задачі має ту властивість, що яким би не був стан системи в результаті деякої кількості кроків, необхідно вибирати управління на найближчому кроці так, щоб воно разом з оптимальним управлінням на всіх наступних кроках приводило до максимального виграшу на всіх останніх кроках, включаючи даний.

Отже, принцип оптимальності не забезпечує незалежність наступних розв’язків від здобутих раніше.

Прийняття рішень на кожному етапі має враховувати попередні зміни та бути підпорядкованим кінцевому результату. Необхідно прийняти ряд послідовних рішень, що забезпечує оптимальність розвитку процесу в цілому.

2. Охарактеризуйте головні групи методів розв’язування задач цілочислового програмування.

Для знаходження оптимальних планів задач цілочислового програмування застосовують такі групи методів: 1) точні методи: *методи відтинання; *комбінаторні методи; 2) наближені методи. Основою методів відтинання є ідея поступового «звуження» області допустимих розв’язків розглядуваної задачі. Пошук цілочислового оптимуму починається з розв’язування задачі з так званими послабленими обмеженнями, тобто без урахування вимог цілочисловості змінних. Далі введенням у модель спеціальних додаткових обмежень, що враховують цілочисловість змінних, багатогранник допустимих розв’язків послабленої задачі поступово зменшують доти, доки змінні оптимального розв’язку не набудуть цілочислових значень. До цієї групи належать: *методи розв’язування повністю цілочислових задач; *методи розв’язування частково цілочислових задач. Комбінаторні методи цілочислової оптимізації базуються на ідеї перебору всіх допустимих цілочислових розв’язків, однак, згідно з їх процедурою здійснюється цілеспрямований перебір лише досить невеликої частини розв’язків. Найпоширенішим у цій групі методів є метод гілок і меж. Починаючи з розв’язування послабленої задачі, він передбачає поділ початкової задачі на дві підзадачі через виключення областей, що не мають цілочислових розв’язків, і дослідження кожної окремої частини багатогранника допустимих розв’язків. Для розв’язування задач із бульовими змінними застосовують комбінаторні методи, причому, оскільки змінні є бульовими, то методи пошуку оптимуму значно спрощуються.