Приближенная (инженерная) аппроксимация.
При этом подходе реальное динамическое запаздывание в ОУ заменяется фиктивным транспортным, так что можно условно рассматривать многоемкостные объекты как одноемкостные с ИТЗ. Ошибка, вызванная этим допущением, будет тем меньше, чем точнее будут совпадать переходные характеристики реального объекта и модели.
Поэтому устойчивый ОУ можно условно представить последовательным соединением апериодического звена первого порядка и звена идеального транспортного запаздывания:
,
(3а)
а нейтральный ОУ – последовательным соединением идеального интегрирующего звена и звена ИТЗ:
.
(3б)
Для определения параметров в формулах (3а) и (3б) необходимо на графиках переходных функций провести линии так, как это указано на рис. 1. В первом случае наклонная прямая проводится как касательная к точке перегиба графика функции, а во втором – является асимптотой линейно нарастающей части графика.
|
а |
|
б |
|
Рис. 1. Экспериментально измеренные разгонные характеристики для устойчивого (а) и нейтрального (б) ОУ и методы построения линий, которые используются для нахождения параметров объекта в инженерном приближении. |
Асимптоту нетрудно
провести как на бумаге (с помощью обычной
линейки, если правильно выбран интервал
времени расчета переходного процесса),
так и в рамках S-модели,
используя блок Ramp
– источник линейно растущего сигнала.
Для приведенного примера
.
В случае устойчивого объекта необходимо правильно провести касательную линию. Поскольку «на глаз» это сделать затруднительно, то приближенно можно считать, что:
,
где
и
– значения переходной функции на уровне
0,7 и 0,3 от установившегося значения. Эти
значения можно определить, как по бумаге,
так и с помощью инструментария блока
Scope
S-модели.
Для приведенного примера определено:
.
Уточненная аппроксимация.
В этом случае многоемкостный объект представляется как последовательное соединение двухемкостного звена и звена ИТЗ. Выражения для передаточных функций для устойчивого и нейтрального ОУ в этом случае записываются в виде:
(5а)
(5б)
Алгоритм нахождения
параметров
устойчивого
ОУ представляется
следующим. Вначале составляется выражение
для переходной функции ОУ (формула
справедлива, поскольку все полюса
передаточной функции его лежат в левой
полуплоскости):
|
|
(6) |
.
Задачей
аппроксимации является подобрать такие
значения параметров
,
чтобы график аппроксимирующей переходной
функции возможно лучше совпадал с
измеренной разгонной характеристикой.
Задачи поиска оптимальных значений
неизвестных параметров относятся к
типу задач
минимизации.
Сумма расстояний от кривой (6) до точек
графика измеренной разгонной характеристики
является т.н. целевой
функцией задачи:
,
(7)
где ti – моменты времени (узлы), для которых определены измеренные значения разгонной характеристики.
Чем величина целевой функции меньше, т.е. чем ближе аппроксимирующий график проходит к узловым точкам, тем точнее найдены неизвестные параметры передаточной функции ОУ.
Для поиска минимума целевой функции удобно использовать возможности пакетов компьютерной математики. Так, в пакете MathCAD поиск экстремума функции нескольких переменных реализуется с помощью встроенной процедуры Minimize. Для запуска итерационной процедуры необходимо задать начальное приближение – исходные значения искомых параметров. Предварительно следует данные массива значений переходной характеристики, записанные в память программы Matlab с помощью блока To Work Space в S-модели, сохранить в виде ASCII-файла. Это выполняется с помощью команды:
save('ex_2.dat','-ascii','R'),
которая вводится в командном окне программы. Здесь R – имя двумерной матрицы результатов разгонной характеристики (имя блока To Work Space), а ex_2– имя *.dat файла, сохраняемого в текущей директории. Mathcad документ предусматривает:
-
чтение информации из внешнего файла;
-
ограничение числа точек, по которым проводится процедура аппроксимации (исходное число точек в записанном файле должно быть достаточно большим, что обеспечивается заданием максимального шага расчета модели);
-
вычислением по формулам (6) и (7);
-
выполнению процедуры минимизации.
Листинг Mathcad документа с комментариями действий представлен на рис. 2.
|
Рис. 2. |
В случае нейтрального
объекта использование формулы (6) для
расчета переходной функции является
неверным, поскольку передаточная функция
содержит один нулевой полюс, не лежащий
в левой части комплексной плоскости.
Поэтому алгоритм аппроксимации
предполагает измерение и запись в память
импульсной характеристики (предварительно
продифференцированной разгонной
характеристики), что эквивалентно поиску
параметров функции
.
Последующий алгоритм поиска аппроксимирующих
параметров совпадает с предыдущим
случаем/
После проведения процедуры аппроксимации следует проверить достоверность найденных результатов. Для этого в S-модели следует предусмотреть одновременную визуализацию на осциллографе разгонной характеристики исследуемого объекта и переходной функции для аппроксимирующей модели (приближенной и уточненной).
Важные замечания:
1. Процедура дифференцирования в пакете Simulink с помощью блока численного дифференцирования d/dt приводит, при наличии шумов в исходном сигнале, к погрешностям, которые тем больше, чем меньше шаг расчета модели. Поэтому, шаг должен выбираться с одной стороны достаточно маленьким, чтобы графики процессов представлялись плавными функциями, а с другой стороны – достаточно большим, чтобы погрешности дифференцирования были незначительны. Кроме того к лучшим результатам приводит использование дифференцирующего с замедлением звена с достаточно малой постоянной времени.
2. Представление результатов визуализации переходных процессов не обязательно проводить путем построения графиков по сохраненным в памяти массивам. Можно использовать графики процессов в окне блока Scope. Для этого нужна возможность их редактирования. Такая возможность появляется, если в командном окне Matlab ввести следующие команды:
set(0,'ShowHiddenHandles','On');set(gcf,'menubar','figure')
set(gcf,'menubar','figure')
После их выполнения в окне осциллографа появится строка меню, позволяющая осуществлять редактирование осей графика, вида кривых и др.