С. Визначення істотних відмінностей між вибірковими середніми

Приклад.

Для двох різних гум А та В були одержані результати визначення міцності зв'язку в каркасі для 3-х шин (по 10 випробувань) . Дані спостереження наведені в таблиці 1 діапазон комірок В1:К6.

Із заданою надійністю Р=0,95 визначити істотність відмінностей середніх значень гум.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
	Міцність зв’зку між прошарками каркасу, Мпа
1	Гума А	6.1	6.6	8.0	7.8	6.5	7.5	7,0	7,5	7,3	7,8
2		7.9	7.6	7.6	7.2	6.5	6.6	7,6	7,8	7,7	7,5
3		7.1	7.5	7.7	7.4	7.3	7.8	7,4	7,5	7,6	7,2
4	Гума В	6.6	7.1	8.4	8.3	7.0	8.1	7,5	8,0	7,7	8,4
5		8.4	8.1	8.1	7.5	7.1	7.0	8,0	8,3	8,5	8,0
6		8.6	8.1	8.2	8.0	7.8	8.2	8,3	8,8	8,1	7,6

Розв’язання:

Використовуючи вбудовану функцію підрахунку числа стовпців ЧИСЛСТОЛБ ( категорія – ссылки и массивы), знаходимо розмір масивів у комірках В7, В8 ( табл.2). Середні значення обох масивів знаходимо у комірках В9, В10 з використання вбудованої статистичної функції СРЗНАЧ.

Таблиця 1 – Розрахунок істотності відмінностей між вібірковими середніми

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
1	А	6,1	6,6	8	7,8	6,5	7,5	7	7,5	7,3	7,8
2		7,9	7,6	7,6	7,2	6,5	6,6	7,6	7,8	7,7	7.5
3		7,1	7,5	7,7	7,4	7,3	7,8	7,4	7,5	7,6	7,2
4	В	6,6	7,1	8,4	8,3	7	8,1	7,5	8	7,7	8,4
5		8,4	8,1	8,1	7,5	7,1	7	8	8,3	8,5	8
6		8,6	8,1	8,2	8	7,8	8,2	8,3	8,8	8,1	7,6
7	n1=	10
8	n2=	10
9	Xa=	7,35333
10	Xb=	7,92667
11	Sa=	0,47397
12	Sb=	0,53623
13	S^2=	0,25609
14	t=	-2,3322
15	t(0,05,18)=	2,10092

Оцінки середньоквадратичних відхилень обох масивів знаходимо в комірках В11, В12, використовуючи вбудовану статистичну функцію СТАНДОТКЛОН.

Оцінку дисперсії обох вибірок за формулою

S² = / (n₁ + n₂ –2)

знаходимо в комірці В13.

Розрахункове значення t _роз – статистики за формулою

записуємо в комірку В14., а табличне значення крітерію Стьюдента – до комірки В15.

Таблиця 2 – Формули розрахунку істотності відмінностей між вибірковими середніми

	A	B		C		D		E		F		G		H		I	J		K
1	А	6,1		6,6		8		7,8		6,5		7,5		7		7,5	7,3		7,8
2		7,9		7,6		7,6		7,2		6,5		6,6		7,6		7,8	7,7		7 ,5
3		7,1		7,5		7,7		7,4		7,3		7,8		7,4		7,5	7,6		7,2
4	В	6,6		7,1		8,4		8,3		7		8,1		7,5		8	7,7		8,4
5		8,4		8,1		8,1		7,5		7,1		7		8		8,3	8,5		8
6		8,6		8,1		8,2		8		7,8		8,2		8,3		8,8	8,1		7,6
7	n1=	=ЧИСЛСТОЛБ(B1:K3)
8	n2=	=ЧИСЛСТОЛБ(B4:K6)
9	Xa=	=СРЗНАЧ(B1:K3)
10	Xb=	=СРЗНАЧ(B4:K6)
11	Sa=	=СТАНДОТКЛОН(B1:K3)
12	Sb=	=СТАНДОТКЛОН(B4:K6)
13	S^2=	=(B11^2*(B7-1)+B12^2*(B8-1))/(B7+B8-2)
14	t=	=(B9-B10)/КОРЕНЬ((1/B8+1/B9)*B13)
15	t(0,05,18)	=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;18)
			Перша група						Друга група
			Xi		ni				Xi		ni
			2		1				3		2
			4		7				8		3
			5		2
			N1 =		10				N2 =		5
Групові			Х1=		4
середні			Х2=		6
Групові			D1гр=		0,6
дисперсії			D2гр=		6
cеред.арифм.			Dвнутр.=		2,4
дисперсій
загальна серед.			Х загальн		4,667
			Dміжгруп.		0,889				Dвнутр. + Dміжгруп.
			Dзагальна		3,289								3,288889

1	A	B	C	D	E	F
2		Перша група			Друга група
3		Xi	ni		Xi	ni
4		2	1		3	2
5		4	7		8	3
6		5	2
7		N1 =	"=СУММ(C4:C6)		N2 =	"=СУММ(F4:F6)
8	Групові	Х1=	"=(C4*B4+C5*B5+C6*B6)/C7
9	середні	Х2=	"=(F4*E4+F5*E5)/F7
10	Групові	D1гр=	"=(C4*(B4-C8)^2+C5*(B5-C8)^2+C6*(B6-C8)^2)/C7
11	дисперсії	D2гр=	"=(F4*(E4-C9)^2+F5*(E5-C9)^2)/F7
12	cеред.арифм.	Dвнутр.=	"=(C7*C10+F7*C11)/(C7+F7)
13	дисперсій
14	загальна серед.	Х загальн	"=(C4*B4+C5*B5+C6*B6+F4*E4+F5*E5)/(C7+F7)
15		Dміжгруп.	"=(C7*(C8-C14)^2+F7*(C9-C14)^2)/(C7+F7)
16		Dзагальна	"=(C4*(B4-C14)^2+C5*(B5-C14)^2+C6*(B6-C14)^2+F4*(E4-C14)^2+F5*(E5-C14)^2)/(C7+F7)

Дфохфакторний дисперсійний анализ

Приклад.

У підготовчому цеху шинного заводу за результатами аналізу статистичних даних , по вимірюванню пластичності, були виявлені великі коливання середніх значень показників якості

сумішей одного й того ж шифру, виготовлених на різних гумозмішувачах і в різні зміни. Визначити причини варіацій якості сумішей.

Таблиця 3 – середні значення результатів лабораторного аналізу (по пластичності)

Номер гумозмішувача	Зміна
	1	2	3	4
1	0,3890	0,3881	0,3665	0,3759
2	0,3846	0,3596	0,3605	0,3689
3	0,3992	0,3740	0,3784	0,3809
4	0,3969	0,3789	0,3830	0,3818
5	0,3619	0,3696	0,3490	0,3645

Для даної задачі К=5 (гумозмішувачі), m=4 (зміни)

Однофакторний дисперсійний аналіз

Приклад. Перевірити при заданому рівні значимісті нульову гіпотезу о єдності декількох середніх нормальних сукупностей з невідомими, але однаковими дисперсіями.

A	B	C			D		E		F		G		H
2	Таблиця – похідні
3	номер			Рівні фактору Fj
4	i			F1	F2		F3
5	1			51	52		42
6	2			52	54		44
7	3			56	56		50
8	4			57	58		52
9	серед.гр			54	55		47
11	c=			52
13	Таблиця - розрахункова
14	номер			Рівні фактору Fj
15	i			F1			F2				F3
16				yi1	yi12		yi2		yi22		yi3		yi32
17	1			-1	1		0		0		-10		100
18	2			0	0		2		4		-8		64
19	3			4	16		4		16		-2		4
20	4			5	25		6		36		0		0
21	Qj=				42				56				168		ΣQj=266
22	Tj=			8			12				-20				ΣTj =0
23	T			64			144				400				ΣT j2= 608
13	Таблиця - розрахункова ( у режимі Excel)
14	номер		Рівні фактору Fj
15	i		F1					F2				F3
16			yi1			yi12		yi2		yi22		yi3		yi32
17	1		=C5-$C$11			=C17^2		=D5-$C$11		=E17^2		=E5-$C$11		=G17^2
18	2		=C6-$C$11			=C18^2		2		4		-8		64
19	3		4			16		4		16		-2		4
20	4		5			25		6		36		0		0
21						=СУММ(D17:D20)				56				68		266
22			=СУММ(C17:C21)					12				-20				0
23			=C22^2					144				400				608
	кількість рівнів фактору р=									3
	кількість іспитів на кожному рівні q=									4

Загальна та факторна суми квадратів відхилень відповідно розраховуються:
Sзагал. =	266
Sфакт.=	152
Залишкова сума квадратів відхилень :
Sзалиш.=	114
Факторна та залишкова дисперсії
S2факт.=	76
S2залиш.=	12,67
Спостерігаєме значення F крітерію
F cпостер.=	6

Загальна та факторна суми квадратів відхилень відповідно розраховуються:
Sзагал. =	=I21-I22/F24*F25
Sфакт.=	=I23/F25-I22^2/F24*F25
Залишкова сума квадратів відхилень :
Sзалиш.=	=C29-C30
Факторна та залишкова дисперсії
S2факт.=	=C30/(F24-1)
S2залиш.=	=C32/(F24*(F25-1))
Спостерігаєме значення F крітерію
F cпостер.=	=C34/C35

Враховуючи , що рівень значимісті α=0,05, число ступенів свободи числівника k ₁ =2, а знаменника k₂ =9, по таблиці додатку 1 хнаходимо критичну точку :

F _кр (0,05;2;9)=4,26

Тому що F спостер. >Fкр.- нульову гіпотезу о рівності групових середніх відхиляємо. Тобто, групові середні “в цілому” розрізнюються значимо. У разі потреби порівняти середні попарно. користуються крітерієм Стьюдента.

Використання - критерію для перевірки однорідності.

Приклад. На протязі доби для різних змін контрольною лабораторією були проведені аналізи гумових сумішей на 5 гумозмішувачах. Деякі гумові суміши виявились дефектними. Кількість виготовлених сумішей, число та доля дефектних сумішей приведені у таблиці 3. В ній же наведені значення d² та d²/n., що використовуються для розрахунку

Таблиця 3 – Результати лабораторних випробувань

Зміна	Номер гумозмі- шувача	Кількість виготовлених cумішей n	Кількість дефектних сумішей d	Доля дефектних сумішей d/n	d2	d2/n
А	1	45	2	0,044	4	0,089
	2	50	4	0,080	16	0,320
	3	48	2	0,042	4	0,083
	4	50	3	0,060	9	0,180
	5	47	2	0,043	4	0,085
Б	1	51	4	0,078	16	0,314
	2	49	3	0,061	9	0,184
	3	48	3	0,063	9	0,188
	4	50	3	0,060	9	0,180
	5	46	0	0,0	0	0,0
В	1	50	4	0,080	16	0,32
	2	47	0	0,0	0	0,0
	3	50	3	0,060	9	0,180
	4	49	3	0,061	9	0,184
	5	49	2	0,041	4	0,082
Сума		729	38
Середнє		48,6	2,53

З даних таблиці видно,. що загальна доля дефектних виробів по 3-х змінах складає

, тобто 5,21%

=

ν=15-1=14 ( кількість рядків відняти одиницю)

За таблицею 5 додатку… для =8,267 та ν=14 визначаємо вірогідність . Вона перевершує 0,9 тобто процес знаходиться у статистично підконтрольному стані.

Оцінка довірчого інтервалу визначення середньої величини

Шини при міцності зв’язку у каркасі менше ніж 5 кгс/см² передчасно виходять з ладу внаслідок розшарування та інших дефектів каркасу. Результати випробувань по п’яти шинах з двома різними гумами дали слідуючи показники міцності зв’язку:

Гума А: 9,7 ; 6,4; 10,2 ; 7,2; 5,5

Гума Б: 8,3; 7,6; 6,3; 7,8; 8,4

Серенє арифметичне для = 7,8; _Б =7,6.

Якщо провести просте порівняння середніх то обидві гуми повинні бути визнаними якісними і гума А кращою за гуму Б.

Проведемо оцінку довірчого інтервалу визначення середньої величини і оцінемо разброс ! індивідуальних значень, прийнявши,що результати випробувань оцінюються функцією нормального розподілу

	А	(x-)	(х-)2	Б	х-Б	(х-Б )2
	9,7	1,9	3,61	8,3	0,62	0,3844
	6,4	-1,4	1,96	7,6	-0,08	0,0064
	10,2	2,4	5,76	6,3	-1,38	1,9044
	7,2	-0,6	0,36	7,8	0,12	0,0144
	5,5	-2,3	5,29	8,4	0,72	0,5184
Середнє	7,8		16,98	7,68		2,828
			4,245			0,707
Середнє квадратичне відхилення для вибірки (Sx)			2,06034			0,840833
m			0,921412			0,376032
tpk	3.2
mXA*tpk			2,948518			1,203302
μ (-)			4,851482			6,476698

Таким чином, оцінка довірчого інтервалу показала, що мінімальне значення для середніх показників міцності зв’язку каркасу в шинах для гуми А- 4,85 кгс/см² при вибіркових іспитах лежить нижче нормі 5 кгс/см². Тому гума А не може використовуватися для виготовлення шин.

Розв’язання у режимі Excel

1	A	B	C	D	E	F
2	9,7	1,9	3,61	8,3	0,62	0,3844
3	6,4	-1,4	1,96	7,6	-0,08	0,0064
4	10,2	2,4	5,76	6,3	-1,38	1,9044
5	7,2	-0,6	0,36	7,8	0,12	0,0144
6	5,5	-2,3	5,29	8,4	0,72	0,5184
7	7,8		=СУММ(C2:C6)	7,68		2,828
8			=C7/4			0,707
9	(Sx)		=КОРЕНЬ(C8)			0,840833
10
11	m		=C9/КОРЕНЬ(5)			0,376032
12
13	mXA*tpk		=3,2*C11			1,203302
14
15	μ (-)		=A7-C13			6,476698

Для оцінки розкиду результатів окремих випробувань можна скористуватись табличними значеннями нормованої випадкової величини Z ( таблиця додаток 2)

Для гуми А:

Z=| (5-7.8)/2.06|= 1.34

З додатку 2 для Z=1,34 та Z=3 F(Z)=0.41 та 0.5 відповідно. Таким чином, (0,5-0,41)=0,09 тобто 9% усіх шин, виготовлених з гумою А , будуть мати міцність зи’язку нижче 5кгс/см², хоча при випробуванях випадково вибраних п’яти шин ні одної цифри нижче 5кгс/см² не було.

Визначення достовірності розрізнення для двох середніх арифметичних у випадку вибірки великого обсягу (n>30).

Визначимо достовірність розрізнення середніх арифметичних величин опору розриванню для двох гум С та Д на базі випробувань перших 50-ти заправок.Середні арифметичні опору розриванню відповідно дорівнюються: =211,5; = 205. Середні арифметичні відхилення S₁ =8,8; S₂ = 13.

Розраховуємо середні помилки:

m₁ =±= ± 8.8=1.24; m₂ = ± 1.84

Визначимо достовірність по формулі

t= = =2.93

По додатку 4 знайдемо, что достовірність розрізнення складає біля 100%. Таким чином встановлено, що гума С по міцності дійсно краще, ніж гума Д. Іншими словами, ці гуми по міцності розрізняються між собою.

Необхідно відмітити, що для практичних висновків по достовірності розрізнення показників двох гум припустими рівнем вірогідності слід вважати вірогідность Р=0,95.

Визначення мінімальної кількості випробувань для знаходження середнього арифметичного з заданою точністю та вірогідністю.

Визначимо мінімальну кількість випробувань, що необхідно для знаходження середнього арифметичного опору розриванню з точністю ±1% та ± 5% по першим п’яти заправкам з гуми С (204; 200;200;206;211 кгс/см²).

Величина дисперсії дорівнюється

S_y² =[Σ(Y- Y₂)²]/(n-1) = [(204-204)²+(200-204)²+(200-204)²+(206-204)²+(211-204)²]/(5-1)=

= [16+16+4+49]/4=21.25

Середнє квадратичне відхилення

S_y==4.6

Знаходимо коефіцієнт варіації

V= S_y*100/=4,6*100/204=2,26%

Так як крітей Стьюденту t при вірогідності 0,95 та обсязі вибірки n=5 дорівнюється 2,8 ( табл.9), то мінімальна кількість випробувань при заданій точності ±1% та ± 5% визначаємо:

n₁= 2,26²*2,8²/1²=40

n₂= 2,26²*2,8²/5² =1,6≈2

Таким чином для одержання середнього арифметичного величини опору розриванню з точністю ±1% для гуми С необхідно провести не менш ніж 40 випробувань, а з точність ±5% лише два .