2.Определение общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделяющимися переменными. Пример.

Определение общего решения:

Общим решением дифференциального уравнения , удовлетворяющего теореме существования, называется функция зависящая от и от одной константы , удовлетворяющей двум условиям:

1)При любом значении функция является решением

2)Для любой внутренней точки (где - область непрерывности) существует единственное значение константы такое, что соответствующее решение удовлетворяет условию

Определение уравнения с разделяющимися переменными:

ДУ первого порядка называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

Пример:

3.Определение и решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Пример

Определение:

ДУ первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде

Пример решения:

Решить ДУ

1)Проверим ДУ на однородность. Для этого произведем следующую замену:

– равно начальному равнению, следовательно уравнение однородное

2)Произведем замену

4. Определение и решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Определение:

Дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно представить в виде:

либо

Решение:

Произведем замену:

Уравнение примет вид:

Потребуем чтобы второе слагаемое было равно нулю и составим и решим систему:

5.Определение и решение уравнения Бернулли.

Определение:

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если оно имеет вид: , причем

Решение:

Разделим обе части уравнения на :

Введем замену: .

Тогда уравнение примет вид:

Полученное уравнении является линейным относительно .

6.Определение и решение уравнения в полных дифференциалах. Пример.

Определение:

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах, если оно может быть представлено в виде , причем .

Пример решения:

Решить ДУ

Общий интеграл

Ответ:

7.Решение дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка. 3 случая. Пример.

1)

Метод последовательного интегрирования:

Пример:

Решить дифференциальное уравнение , если .

Ответ:

2)

отсутствует

Введем замену

– ДУ первого порядка

Пример:

Ответ:

Введем замену:

Полученное уравнение является ДУ первого порядка

8. Понятие фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Теорема:

Если коэффициенты , , и линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка непрерывны при , то для любых начальных условий , где , два частных решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему решений, если определитель Вронского при любом .

9.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Пример.

Теорема:

Пусть и образует фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка на . Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Доказательство:

Докажем что - решение .

Т.к. и являются решениями уравнения , то выполняются следующие тождества:

Сложим два этих тождества

Пример:

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка:

Ответ: