5. Описание предпочтений.

Пусть имеется совокупность объектов A (например, варианты стратегий, исходы, предметы и т.п.) и имеется ЛПР, для которого данные объекты не равнозначны, т.е. ЛПР обладает некоторой системой предпочтений на этом множестве. Эти предпочтения можно описать различными способами. Далее мы перечислим наиболее распространенные из этих способов.

Ранжирование объектов – представление элементов множества A в виде последовательности в порядке убывания (или невозрастания) их предпочтительности. При этом, ничего не говорится о том, "на сколько" один элемент предпочтительнее другого.

Задание функции предпочтительности, т.е. каждому объекту ставится в соответствие некоторое число, например, оценка его общего качества в баллах.

Задание функции выбора X*=C(X), которая для любого подмножества X множества A (X⊆A) дает подмножество X*⊆X лучших с точки зрения ЛПР элементов множества X.

Задание сравнительной предпочтительности для каждой пары элементов a и b в виде:

а) «a предпочтительнее b», либо

б) «b предпочтительнее a», либо

в) «a и b равнопредпочтительны», либо

г) «a и b несравнимы».

Множество пар вида <x,y>, для которых верно, что «x предпочтительнее y», называется бинарным отношением строгого предпочтения P.

Пары <x,y> равнопредпочтительных элементов образуют бинарное отношение безразличия I.

Пары <x,y> несравнимых элементов составляют множество N – бинарное отношение несравнимости по предпочтению.

В теории принятия решений обычно предполагается, что множества, на которых задаются отношения предпочтения, состоят из более, чем 2-х элементов – принцип парнодоминантности.

Объединение отношений строгой предпочтительности и безразличия R=P∪I называется отношением нестрогого предпочтения. Т.е. R – это множество пар <x,y> таких, что «x не менее предпочтителен, чем y».

Свойства введенных отношений:

P может не являться транзитивным, т.е. из aPb («a предпочтительнее b») и bPc («b предпочтительнее c») не обязательно следует, что aPc («a предпочтительнее c»).

P – антирефлексивно, т.е не содержит пар вида <x,x> (элемент x не может быть предпочтительнее самого себя).

P – антисимметрично, т.е. если P содержит пару различных элементов <x,y>, то оно не содержит пару <y,x>.

I – рефлексивно, т.е. содержит все пары вида <x,x>.

I – симметрично, т.е. если I содержит пару <x,y>, то в нем есть и пара <y,x>.

I – транзитивно, т.е. если <x,y>∈I и <y,z>∈I, то и <x,z>∈I.

R – рефлексивно, антисимметрично, не обязательно транзитивно.

Отношение предпочтения можно изобразить в виде графа.

Пример 1.

A={a,b,c}. R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<c,b>}.

По отношениям предпочтения можно построить функцию выбора, используя одно из правил выбора:

1. 1) Элемент a* выбирается из X⊆A, если a* является наилучшим, т.е a*Ra для любого a∈A. C₁(X)={a* | ∀a∈A a*Ra}. Замечание: если a*Ib, то b – тоже наилучший.

2. 2) Элемент a* выбирается из X⊆A, если a^o является максимальным, т.е. нет такого a∈A, что aPa^o. C₂(X)={a^o | не ∃a∈A: aPa^o}.

Выбор по правилу C₁ зачастую не дает результатов. Так, в примере 1: C₁({a,b,c})=∅, C₂({a,b,c})={a,c}.

По числовой функции предпочтения можно построить отношения предпочтения: aRb ⇔ f(a)≥f(b), aIb ⇔ f(a)=f(b), aPb ⇔ f(a)>f(b).

Но не во всех случаях по отношениям предпочтения удается построить функцию, удовлетворяющую указанным свойствам.

Последним из рассматриваемых способов описания предпочтений будет оценивание предпочтительности каждого объекта a по n признакам (критериям): K_i(a)=x_i – оценка a по критерию K_i. Вектор, составленный из оценок a по каждому из критериев K_i, называется векторной оценкой a: x=(x₁,…x_n).

Критерии могут быть числовыми и нечисловыми. Формально нечисловые критерии всегда можно превратить в числовые, поэтому впредь под критерием будем всегда подразумевать числовую функцию.

Шкалой критерия называется множество допустимых значений критерия. Если любые два объекта имеют различные оценки по данной шкале, то она называется строгой (в противном случае – нестрогой).

Пусть K_i(a)>K_i(b) и большая оценка по K_i предпочтительней. Если, зная оценки K_i(a) и K_i(b), нельзя ответить на вопрос: "на сколько" a предпочтительнее b по критерию K_i, то шкала критерия K_i называется порядковой, а сам критерий – качественным. В противном случае, критерий называется количественным.

Если известны векторные оценки всех вариантов по n критериям, то по ним можно построить следующее отношение строгого предпочтения. Пусть x – векторная оценка варианта a, y – векторная оценка варианта b.

aP⁰b ⇔ (∀i=0…n x_i≥y_i и ∃j: x_j>y_j).

Это отношение называется отношением Парето. P⁰ используется в качестве P, если никакой другой информации о предпочтениях или критериях от ЛПР не получено. В любом случае, предполагается, что P⁰⊆P.

Иногда применяется отношение предпочтения по Слейтеру:

aSb ⇔ x_i>y_i , i=1,…,n.

7.Если от ЛПР получена информация о том, что критерий K₁ абсолютно важнее всех остальных, критерий K₂ в свою очередь важнее всех, кроме K₁ и т.д., то применяют такую модель предпочтений, как отношение лексикографического порядка:

aLb ⇔ ∃i: i∈[1..n], x_i>y_i, x_j=y_j при j=1,…,i-1.

8. Функции выбора. Примеры.

Пусть задано множество вариантов A. Будем обозначать варианты буквами x, y, z… с индексами или без них. В содержательных задачах роль вариантов могут играть кандидаты, абитуриенты, планы, стратегии, проекты, товары и т.д. Будем считать, что A – конечное множество из двух или более элементов. Пусть далее A – некоторое заданное множество непустых подмножеств X вариантов из A. Любое подмножество X ∈ A может быть предъявлено для осуществления акта выбора и называется далее предъявлением. Будем обозначать A⁰ – множество всех непустых подмножеств множества A. A⁰ – универсальное множество в данной задаче.

В специально оговариваемых случаях могут вводиться ограничения на A (например: A содержит пары вариантов из A и т.п.). Акт выбора состоит в выделении из предъявления X ∈ A по некоторому фиксированному правилу подмножества Y ⊆ X, называемого «выбор из X» или в установлении факта отказа от выбора. В последнем случае говорят, что выбор пуст (Y = ∅).

Общая модель выбора:

В результате преобразования выбора каждому X ставится в соответствие Y ⊆ X и возникает пара множеств <X, Y>. C(⋅) = {<X, Y> | X ∈ A} – функция выбора, т.е. Y = C(X). Способы задания функции выбора сводятся к одной из двух форм: 1) поэлементное задание: C(X) = { y ∈ X | …}, 2) целостное задание: C(X) = Y ⊆ X такое, что …. X выбор Y ⊆ X

Характеристические свойства функций выбора

9.Рассмотрим ряд «естественных» требований к «разумному» выбору.

Будем говорить, что функция выбора C(⋅) удовлетворяет условию наследования (Н), если ∀ X, X’ ∈ A выполняется условие:

[ X’ ⊆ X ] ⇒ [ C(X)∩X’ ⊆ C(X’) ].

Т.е., если сузить предъявление, отбросив часть вариантов, то все варианты из суженного множества X’, которые были выбраны из исходного множества X, также попадут в выбор из X’.

Пример: товары, выбранные из большого ассортимента, естественно будут выбраны и из содержащего их более узкого ассортимента.

Заметим, что это условие не исключает того, что в выбор из X’ попадут еще какие-то варианты, которые в выбор из X не попали.

Усилим условие Н.

10.Будем говорить, что функция выбора C(⋅) удовлетворяет условию строгого наследования(согласования) или константности (К) выбора, если ∀ X, X’ ∈ A выполняется условие:

[ X’ ⊆ X ] ⇒ [ если C(X) = ∅, то C(X’) = ∅, а если C(X)∩X’ ≠ ∅, то C(X’) = C(X)∩X’ ].

Т.е. все выбранные из X варианты и только они попадают в выбор из X’, если, конечно, они в X’ содержатся. Если выбор из X был пуст, то и выбор из X’ будет пуст. И только если пересечение C(X) и X’ пусто, а C(X) непусто, то C(X’) может содержать какие-то другие варианты.

Пример 1.

Вы выбрали какие-то товары в каталоге, пришли в магазин и в наличии имеются какие-то из выбранных вами по каталогу товаров, то именно их вы и выбираете в магазине. Если же ни одного из выбранных вами по каталогу товаров в наличии нет, то возможно вы выберете что-то другое. А если вам изначально ничего не понравилось в каталоге, то вы и не пойдете в этот магазин ☺.

Функция выбора C(⋅) удовлетворяет условию согласия (С), если ∀ X’, X’’ ∈ A выполняется условие:

[ X = X’∪X’’ ] ⇒ [ C(X’)∩C(X’’) ⊆ C(X) ].

Т.е. все одинаковые варианты, выбираемые из X’ и X’’ по отдельности, должны выбираться и из объединения X’∪X’’. Хотя в этот выбор могут попасть и еще какие-то другие варианты.

Пример 2.

В одном доме находятся два магазина. X’ – ассортимент первого магазина, X’’ – ассортимент второго магазина. Вы заходите в любой из этих магазинов, чтобы купить пиво и закуску. В обоих магазинах есть пиво “Tuborg”, которое вам больше всего нравится. А вот закуска в их ассортиментах представлена по-разному. Из того, что продается в первом магазине, вам больше всего нравятся сухарики “3 корочки”. А если вы идете в первый магазин, то покупаете там кальмары“Дальпико”. Таким образом, C(X’) = { “Tuborg”, “3 корочки” }, C(X’’) = { “Tuborg”, “Дальпико” }. Теперь представим, что эти магазины объединятся в один магазин с общим ассортиментом X = X’∪X’’. В таком случае, в ваш выбор C(X), естественно, по-прежнему войдет пиво “Tuborg” = C(X’)∩C(X’’). А вот, какую закуску вы будете покупать, неизвестно.

11.Функция выбора C(⋅) удовлетворяет условию независимости от отбрасывания отвергнутых вариантов (О), если ∀ X, X’ ∈ A выполняется условие:

[ C(X) ⊆ X’ ⊆ X ] ⇒ [ C(X’) = C(X) ].

Т.е., сужение предъявления за счет отбрасывания некоторых или всех невыбранных вариантов не изменяет выбор.

Пример: на ваш выбор в магазине никак не повлияет отсутствие в наличии товаров, которые не понравились вам в каталоге.

Уровни требований к функциям выбора:

0 – никаких;

1 – Н и С;

2 – Н, С и О;

3 – К.

(Будем обозначать также буквами Н, С, О и К множества функций выбора, удовлетворяющих соответствующим условиям.

Теорема: условия Н, С, О независимы (т.е. все возможные пересечения множеств Н, С, О и их дополнений не пусты), условие К является усилением каждого из условий Н, С, О (т.е. К ⊂ Н∩С∩О). )

12.Если справедливо условие Н, то справедливо и следующее, более слабое условие: ∀ X ∈ A верно, что [ x ∈ C(X) ] ⇒ [ x ∈ C({ x, y }) ∀ y ∈ X ]. Это условие называется обратным условием Кондорсе (Con^-). Оно означает, что если вариант выбирается из X, то он выбирается и из любой содержащей его пары вариантов.

Если справедливо условие С, то справедливо и следующее, более слабое условие: ∀ X ∈ A верно, что [ ∀ y∈X x∈C({ x, y }) ] ⇒ [ x∈C(X) ]. Это условие называется прямым условием Кондорсе (Con⁺). Оно означает, что если вариант выбирается из всех содержащих его парных предъявлений, то он выбирается из X.

Функция выбора удовлетворяет принципу Кондорсе, если для неё одновременно выполняются условия Con^- и Con⁺.

Теорема: множества Con^-∩Con⁺ и Н∩С совпадают.