16. Математические модели системы и их типы.

Они могут быть разделены на несколько типов. Линейные и нелинейные модели, в отношение которых соответственно справедлив и несправедлив принцип суперпозиции.

Непрерывные и дискретные модели, описываемые соответственно уравнениями с непрерывными и дискретными переменами.

Статические и динамические модели, описываемые соответственно алгебраическими и дифференциальными уравнениями.

Детерминированные и Стохастические модели детерминированные модели строятся на базе линейной и нелинейной алгебре, теории дифференциальных и интегральных уравнения, стохастические модели строятся на базе теории случайной функции.

Стационарные и нестационарные стохастические модели. Стационарные стохастические модели имеют неизменные во времени законно распределения случайных величин. Нестационарные стохастические модели имеют меняющиеся во времени законно распределения случайных велечин.

Тип математической модели выбираемой для исследования во многом определяет и методы ее исследования.

17. Детерминированные математические модели.

Статические системы, описываемые алгебраическими уравнениями исследуются точными и приближенными методами. К точным методам могут быть отнесены метод определителей и метод итераций. К приближенным методам могут быть отнесены графический метод, метод хорд, и метод касательных.

Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями также исследуются точными и приближенными методами. К точным методам могут быть отнесены: метод разделения переменных, метод подстановки, и метод интегрирующего множителя. К приближенным методам могут быть отнесены метод последовательных приближений, метод функциональных рядов, метод Рунга - Кутта, и численные методы интегрирования.

Громоздкость математических моделей и систем и прямых методов решения дифференциальных уравнений делает весьма затруднительным для исследователя получение конечных решений. Поэтому для решения практических задач нашли широкое применение методы преобразования исходных уравнений. Пример одного из таких преобразований является преобразование Лапласа. Смысл преобразования Лапласа заключается в переводе исходной функции времени f(t) из пространства оригинала в пространство изображений при помощи интеграла.

F(p) = ₀^c+∞∫f(t)e^-ptdt, где p=d/dt

Перевод F(p) из пространства изображений в пространство оригиналов осуществляется при помощи следующего интеграла

f(t)=(1/2∏)*(^c+∞_c-∞∫F(p)e^-ptdp), величина выбирается чтобы обеспечить сходимость интеграла. Преобразование Лапласа широко используется для решения дифференциальных и интегральных уравнений, поскольку при переходе из области оригиналов в область изображений эти виды уравнений преобразуются в алгебраический вид.

Например:

y(t)=kx(t) -> Y(p)=K*X(p)

y(t)= ∫x(t)dt -> Y(p)=(1/p)*X(p)

y(t)=x’(t) => Y(p)=pX(p)

В процессе решения более сложных уравнений используются таблицы преобразования функций. Основываясь на методе преобразования функций решает задачи анализа система, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями. При этом используется понятие придаточной функции системы.

Придаточная функция система - это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала линейной системы к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях. W(p)=Y(p)/X(p);

Придаточная функция системы может быть получена из дифференциальных уравнений системы, заменой операции дифференцирования по времени аппаратным p.

Пример. Система описывается следующим дифференциальным уравнением. dy(t)/dt+ay(t)=kx(t), где x(t) входной сигнал системы, y(t) выходной сигнал системы, a,k- параметры системы.

Уравнение системы переводиться в пространство изображений следующим образом: Y(p) +aY(p)=kX(p). Придаточная функция будет равна следующему:

W_p=Y(p)/X(p)=k/(p+a)

Алгебраический вид придаточной функции системы позволяет достаточно просто исследовать пространство изображений, динамические свойства систем и определять зависимость выходных сигналов систем от входных сигналов и параметров систем.