Бинарные отношения.

Пусть А и В – два произвольных множества.

Определение 3. Бинарным отношением из множества А в множество В называется всякое подмножество прямого произведения А на В; если А=В, то говорят о бинарном отношении на множестве А. Обозначение:

Пример 2.

Используют две формы записи принадлежности некоторой упорядоченной пары заданному бинарному отношению:

Инфиксная:

Префиксная:

По аналогии с бинарным отношением вводят понятие n – арного отношения  произвольного подмножества упорядоченных n – ок, выбранных из прямого произведения данных n множеств.

Пример 3.

M – множество;

2^M – булеан множества M;

бинарное отношение включения на определяется так:

Определение 4. Множество точек плоскости, координаты которых (x,y), образуют упорядоченные пары некоторого бинарного отношения называется графиком данного бинарного отношения.

Пример 4.

1).

2

0

График

2).

График

Бинарные отношения – это множества, их можно объединять, пересекать, дополнять и т. д.

Пример 5.

1).

2

0

1

График

2).

0

1

2

График

Пусть

Определение 5. Областью определения бинарного отношения (обозначение:), называется подмножество множества А такое, что

Пусть

Определение 6. Областью значения бинарного отношения (обозначение: ), называется подмножество множества В такое, что

Пусть

Определение 7. Отношением, обратным к отношению , называют подмножество прямого произведения , такое, что .

Пример 6.

Определение 8. Дополнением отношения называют бинарное отношение, определяемое как множество всех упорядоченных пар, не входящих в :

Пример 7.

Определение 9. Тождественным отношением I называют подмножество А² такое, что

Пример 8.

Определение 10. Универсальным отношением U называют само прямое произведение множеств

Композиция отношений.

Пусть

Определение 11. Композицией отношений называют бинарное отношение из множества А во множество В, определяемое так:

Пример 9.

Пусть - это отношение, заданное на множестве А, тогда бинарное отношение называется

1. .рефлексивным, если

2. .антирефлексивным, если

3. .симметричным, если

4. .антисимметричным, если

5. .транзитивным, если

6. .полным если

Пример 10.

Является ли рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, полным?

1). нерефлексивно;

например,

2). неантирефлексивно;

, так как уравнение имеет решения:

3). несимметрично;

например,

4). не антисимметрично.

Пусть .

Тогда

5). не транзитивно:

например

но

6). не полное, что очевидно.

Пример 11.

1).  рефлексивно.

2). Пусть тогда

т.к. х, у – целые числа   антисимметрично.

1. Пусть тогда

Значит  транзитивно.

2. Если то или или  полное отношение.

Теорема о свойствах бинарного отношения.

Пусть  отношение на множестве А(), тогда справедливы следующие утверждения:

1. - рефлексивно ;

2.  симметрично;

3.  транзитивно;

4.  антирефлексивно;

5.  антисимметрично;

6.  полно.

Доказательство.

1. Пусть  рефлексивно, ;

1. Пусть , тогда – рефлексивно.

2. Пусть  симметрично, .

Пусть .

Пусть . Значит, .

2. Пусть . Тогда – симметрично.

3. Пусть  транзитивно, и Пусть :() и (;

3. Пусть . Пусть ()и (- транзитивно.

4. Пусть  антирефлексивно, ():;

4. Пусть :  антирефлексивно.

5. Пусть  антисимметрично ():() и . Если и (), то ()и , пересечение множеств и по парам, состоящих из разных элементов,  пусто эти множества в качестве общих могут иметь только элементы вида , что и означает: ;

5. Пусть это означает, что в пересечение могут входить только пары вида если и , то .

6. Пусть -полно, (, ): () или

Но ,обе пары и принадлежат объединению: ;

7. Пусть . Если , то .

Либо .

Либо - полно.

ЛЕКЦИЯ 7.