Алгоритм построения базы матроида.

Следующий алгоритм строит базу в матроиде М (Е, ).

1. Произвольно упорядочить элементы множества Е, Е = (е₁, е₂,..., е_n);

2. Включить элемент e₁ в В;

3. Для i = . Если В{e_i}, то положить В = В{e_i}, иначе

пропустить e_i.

Обоснование алгоритма.

1. Алгоритм строит независимое множество B. Обозначим |B|=k.

2. Допустим, что построенное независимое множество В, не является базой матроида. Пусть А = {а₁, ... , а_m} – база матроида . По М.3:(e_i А\В): В{e_i}. По M.2:{e_i}(любое подмножество В) . Но алгоритм просматривает все элементы e_i, и на некотором этапе он отбросил элемент e_i , как неподходящий. Противоречие.

Ранг множества.

Рангом множества X  E называется мощность его баз. Определение корректно, так как все базы равномощны.

r(x) = |A|, A.

Теорема.

r(x) = |X|  X.

Доказательство.

1. Пусть X  r(x) = |X|;

2. Пусть r(x) = |X|, но у всякого множества X есть единственное подмножество (оно само), равномощное X .

Теорема (о рангах).

Пусть А, В  Е и е₁, е₂  Е.

r.1: 0  r(A)  |A|; – очевидно.

r.2: Если В А, то r(B)  r(A); – очевидно;

r.3: r(A)  r(A{e_i})  r(A) + 1; – очевидно;

r.4: r(AB) + r(AB)  r(A) + r(B).

Доказательство.

Пусть r(AB) = i и С AB, C = {c₁, ... ,c_i}.

Дополним множество С, если необходимо, элементами множества А до

базы множества А, обозначим это множество через D , пусть

D = {c₁, c₂, ..., c_i, d₁, d₂, ..., d_j}, r(A) = i + j.

Дополним множество D, если необходимо, элементами множества B до базы множества А B, обозначим это множество через F, F А B. Пусть

F = {c₁, c₂, ..., c_i, d₁, d₂, ..., d_j, f₁, f₂, ...,f_k}, r(AB) = i + j + k.

Пусть F₁ = {c₁, c₂, ..., c_i, f₁, f₂, ...,f_k}, F₁F, F₁B. Тогда по М.2, F₁  F₁ либо база множества В, либо F₁ можно расширить до базы В  r(B)  i + k,

r(AB) + r(AB) = (i + j + k) + i = (i + j) + (i + k)  r(A) + r(B).

r.5: Если r(A{e₁}) = r(A{e₂}) = r(A), то r(A{e₁ ,e₂}) = r(A)

Доказательство.

A{e₁, e₂} = [A{e₁}]  [A{e₂}] [A{e₁}]  [A{e₂}] = А 

r(A{e₁, e₂})  r(A{e₁}) + r(A{e₂}) – r(A) = r(A) + r(A) - r(A) = r(A).

С другой стороны, r(A{e₁, e₂})  r(A)  r(A{e₁, e₂}) = r(A).

Теорема доказана.

Жадный алгоритм.

Пусть имеются конечное множество Е и семейство  его подмножеств, причем все одноэлементные подмножества множества Е принадлежат семейству . Пусть каждому элементу е из Е поставлено в соответствие число (е) > 0, называемое весом е. Тем самым, задается весовая функция W: ER⁺. Весом подмножества X называется сумма весов элементов этого подмножества, W(x) = (е), eX.

Задача. Среди всех множеств семейства  отыскать множество наибольшего веса.

Жадный алгоритм решает эту задачу следующим образом:

1. Упорядочить элементы Е в порядке убывания их весов:

(е₁)  (е₂) ...  (е_n).

2. Включить e₁ в множество Х, которое строит алгоритм.

3. Для i = : если X  {e_i}, включить е_i в Х, иначе пропустить e_i.

Алгоритм быстрый и эффективный.

Вопрос: Всегда ли построенное множество Х имеет максимальный вес?

Оказывается, что если пара (Е, ) образует матроид, то жадный алгоритм обязательно строит множество Х с максимальным весом, иначе он может ошибаться.

Прежде чем доказать эту теорему, рассмотрим конкретный пример

работы жадного алгоритма. Сразу заметим, что если (Е, ) – матроид, то жадный алгоритм строит его базу, так как он работает в точности как описанный нами ранее алгоритм построения базы матроида.

В качестве примера рассмотрим матрицу:

Задача 1. Нужно выбрать 3 числа по одному из каждого столбца, чтобы их сумма была максимальной. Здесь Е – множество из 9 элементов матрицы А. Семейство  образуют всевозможные тройки чисел, взятых по одному из каждого столбца матрицы А; различные двойки чисел, выбранных из разных столбцов матрицы А; отдельные элементы матрицы А; пустое множество. Система (Е,) – образует матроид разбиения.

Расположим элементы матрицы А в порядке убывания. Под ними запишем их координаты (номера строки и столбца, в которых они лежат). Обведем в кружок те элементы, которые выберет жадный алгоритм.

4 3 3 2 1 1

(1, 1) (1, 2) (2, 2) (2, 3) (2, 1) (3, 2) (3, 1) (1, 3) (3, 3)

Жадный алгоритм правильно решил поставленную задачу.

Задача 2. Из этой же матрицы А нужно выбрать три числа, по одному из каждой строки и столбца. Тогда система  – это тройки чисел, лежащие в разных строках и столбцах матрицы А; двойки чисел, лежащие в разных строках и столбцах матрицы А; отдельные элементы матрицы А; пустое множество. Система (Е,) не образует матроид, вследствие нарушения правила М.3. Действительно, если, например взять А₁ = {a₁₃ , a₂₁}, B = {a₁₂, a₂₃, a₃₁}, то А₁, B , | B |=| А₁| + 1, но (a_{i j} B): А₁{a_{i j} }.

Жадный алгоритм выберет такие элементы из А (обведены кружком):

3

3

5 3 2 1

(1 ,1) (1, 2) (2, 2) (2, 3) (2, 1) (3, 2) (3, 1) (1, 3) (3, 3)

Верное решение представлено числами, обведенными в квадрат.

7 + 3 + 3 = 13 > 7 + 4 + 1 = 12.

Теорема.

Если пара (Е, ) образует матроид, то жадный алгоритм строит множество с максимальным весом. В противном случае жадный алгоритм может ошибаться.

Доказательство.

Пусть (Е,) – матроид и Х = {x₁, x₂, ..., x_m} – множество, которое строит алгоритм. Положим, что элементы множества Х упорядочены в порядке убывания весов (заданы в том порядке, в котором их выбирает жадный алгоритм): w(x₁)  w(x₂)  ...  w(x_m).

Множество Х – база матроида, , поэтому мощность любого другого независимого множества Y меньше мощности множества Х.

Пусть Y = {y₁, y₂, ..., y_k} – другое независимое множество. Положим, что его элементы также расположены в порядке убывания весов:

w(y₁)  w(y₂)  ...  w(y_k). При этом k  m. Покажем, что w(x_i)  w(y_i), для всех . Заметим, что w(x₁)  w(y₁). Пусть i – самый маленький номер такой, что w(y_i) > w(x_i).

Рассмотрим два независимых множества:

А = {x₁, x₂, ..., x_i-1} и В = {y₁, y₂, ..., y_i}

По аксиоме М.2.: |B|= |A| + 1  (y_jB\A): A₁={x₁, x₂, ..., x_i-1,y_j}.

Но j  i, тогда w(y_j)  w(y_i) > w(x_i).

Поэтому жадный алгоритм должен был включить на i – ом шаге в множество Х элемент y_j вместо элемента x_i или на шаге с номером, меньшим i, включить элемент y_j во множество Х – противоречие.

Покажем, как может ошибаться жадный алгоритм, если нарушены аксиомы М.2. и М.3. матроида.

Случай 1. Нарушена аксиома М.2.

Тогда . Рассмотрим такую весовую функцию

Значит, w(B) = w(A) и B.

Жадный алгоритм сначала просмотрит все элементы А, но не сможет целиком включить их в множество Х, которое он строит, так как A. В результате w(Х) < w(B) и алгоритм не найдет множество В с большим весом.

Случай 2. Нарушено условие М.3., аксиому М.2. считаем выполненной.

Тогда )

Заметим, что не может выполняться включение А  В. Ведь, если А  В, то, в следствие справедливости М.2.: В  . Следовательно,

.

Рассмотрим такую весовую функцию:

Число  выберем из условия 0 < . Жадный алгоритм сначала просмотрит все элементы множества А и включит их в множество Х. Затем он просмотрит все элементы множества В\А и ни один из них не сможет включить в множество Х. В результате алгоритм построит множество Х вес которого равен весу множества А: ).

Покажем, что множество В имеет больший вес:

B = (AB) (B\A);

w(B) = w(AB)w(B\A) = p(1+) + (k + 1 – p)1;

w(B) – w(A) = 1– (k – p)>0

Теорема доказана.

20