Сочетания с повторениями.

Сочетанием с повторениями из n элементов k называется неупорядоченный набор, содержащий k элементов, каждый из которых может быть одного из n типов.

Пример 1.

Из элементов A, B, C составить все возможные сочетания с повторениями из 2-х элементов.

Решение: всего может быть 6 сочетаний с повторениями из трех элементов по 2, это пары:

AA; BB; CC; AB; AC; BC.

Формула. Число сочетаний с повторениями обозначается символом f_n^k

Закодируем сочетания с повторениями последовательностями из нулей и единиц. Чтобы задать сочетание с повторениями, нужно знать, сколько элементов каждого типа оно содержит.

Пусть оно содержит m₁ элементов 1-го типа; m₂ – 2-го типа; … m_n – n-го типа.

m₁ + m₂ +...+ m_n = k.

Кодировка: запишем m₁ единиц, потом запишем 0, затем запишем m₂ единиц, потом – 0, и т.д. Наконец, запишем m_n единиц.

Таким образом, любая запись содержит k единиц и (n - 1) нулей.

В приведенном выше примере k = 2 и n = 3, т.е. в каждой последовательности будет 4 цифры.

Последовательности будут такими:

AA; BB; CC; AB; AC; BC.

1100; 0110; 0011; 1010; 1001; 0101.

По каждой последовательности, содержащей k единиц и (n  1) нулей, однозначно восстанавливается сочетание с повторениями, соответствующее этой последовательности.

Таким образом, формула для числа сочетаний с повторениями имеет вид: .

В примере: = = 6.

Бином Ньютона.

Воспользуемся методом математической индукции.

1). База индукции.

(+)¹= ¹⁰+⁰¹ = +

(+)²= ²×⁰++ ⁰²=²+2+²

2). Индуктивное предположение.

3). Индуктивный переход.

Доказав, истинность следующей формулы мы докажем истинность Бинома ньютона.

=× =

=+=

=++=

= ⁿ⁺¹ + ++ⁿ⁺¹, так как

Во второй сумме была сделана замена переменной, так чтобы индекс суммирования менялся не от 0 до n  1, а от 1 до n.

Объединим две суммы и воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов:

+.

Продолжим преобразования:

ⁿ⁺¹+++ⁿ⁺¹=

=

что и требовалось доказать.

Второй способ доказательста формулы бинома Ньютона.

. Чтобы получить произведение вида нужно из имеющихся скобок отобрать скобок из которых выбирается сомножитель и в оставшихся скобках выбрать в качестве сомножителя . Но число способов выбрать скобок из имеющихся равно . Следовательно, , что и требовалось.

Следствия.

1. При =1, =1: (1 + 1)ⁿ = = 2ⁿ.

2. При = 1, = 1: (1  1)ⁿ = (1)^k = 0.

Лекция 3. Введение в теорию множеств. Понятия о множестве.

Определение 1. Под множеством (совокупностью) понимают набор объектов произвольной природы, которые называются элементами множества.

Подразумевается, что элементы множества различны и различимы между собой. Само множество элементов рассматривается как единое целое. И в качестве такового может быть элементом любого другого множества. Элементы могут быть любыми объектами: числами, людьми, яблоками, буквами и т. п., но в математике в качестве элементов множества рассматривают математические объекты: числа, точки пространства, кривые и т. п.

Числовые множества обозначаются следующим образом:

N  множество натуральных чисел ;

Z  множество целых чисел;

Q  множество рациональных чисел;

R  множество вещественных чисел;

C  множество комплексных чисел.

Можно рассматривать множества, элементы которых в принципе невозможно перечислить:

Пример 1.

Всякое бесконечное множество. Существуют и конечные множества, обладающие той же степенью неопределенности: множество погибших в ВОВ; множество космических пришельцев, посетивших Землю за 2000 лет и т.п.

Любое множество состоит из своих элементов и однозначно определяется ими. Постулируется, что для каждых конкретных объекта и множества можно сказать, является ли объект элементом множества или нет. Говорят, что любой элемент множества принадлежит этому множеству. Тем самым, между множеством и его элементами вводится отношение принадлежности, которое обозначается . Элементы множества обозначаются малыми буквами латинского алфавита, а сами множества - большими.

Определение 2. Множества, содержащие в качестве элементов другие множества, называются семействами (классами).

Определение 3. Множество, не содержащее ни одного элемента,

называется пустым и обозначается . Существование пустого множества также является постулатом.

Определение 4. Если все элементы данной системы множеств принадлежат какому-то одному большому множеству, такое множество называется универсальным множеством или универсумом и обозначается U.

Если элементы другая запись  то говорят, что множество A состоит из этих элементов, а порядок перечисления элементов не имеет значения.

Пример 2.

 множество, в котором один элемент, этот элемент – пустое множество.