Лекция 2. Комбинаторика.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются методы подсчета числа комбинаций определенного вида, составленных из элементов конечного множества.

Принцип умножения.

Пусть требуется выполнить одно за другим n действий, причем 1-ое действие можно выполнить k₁ способами; 2-ое – k₂ способами (вне зависимости от того, как было выполнено первое действие); 3-е – k₃ способами (вне завмсимости от способов выполнения первого и второго действий) и т.д., n-ое  k_n способами. Тогда число способов, которыми можно выполнить все n действий равно произведению k₁ × k₂ × k₃ × ... × k_n. Это и есть принцип умножения. Проще всего продемонстрировать, как получается произведение, диаграммой, которая называется деревом.

Пример.

У человека имеется 3 рубашки (Р_1, Р_2, Р₃), 2 галстука (Г₁, Г₂) и 2 пары ботинок (Б₁, Б₂). Он признает любое сочетание этих элементов. Сколькими способами он может одеться?

Решение.

Чтобы одеться, человек должен выполнить 3 действия:

1. Выбрать рубашку.

2. Выбрать галстук.

3. Выбрать ботинки.

Это можно изобразить в виде схемы:

Всего можно одеться 3 × 2 × 2 = 12 способами.

Ответ: 12-ю способами.

Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов, т.е. место элемента в наборе, порядок перечисления имеют значение.

Пример 1.

Из элементов A,B,C можно составить 6 перестановок :

ABC; ACB; CAB; CBA; BAC; BCA.

Формула. Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n

Чтобы задать перестановку из n элементов, нужно выполнить n действий:

• назвать 1-й элемент (n способов);

• указать 2-й элемент (n  1 способ);

. . .

• назвать последний элемент (1 способ).

P_n = n × (n - 1) ×...× 1 = n!

Размещения.

Размещением, содержащим k элементов из n имеющихся называется любой упорядоченный набор, содержащий k элементов, выбранных из n имеющихся.

Пример 1.

Из элементов A, B, C, D можно составить 12 размещений из двух элементов:

AB; BA; AC; CA; AD; DA; BC; CB; BD; DB; CD; DC.

Формула. Число размещений ибозначается символом A_n^k

Чтобы составить размещение из n элементов по k, нужно выполнить n действий:

• назвать 1-й элемент размещения (n способов);

• указать 2-й элемент (n  1 способ);

. . .

• назвать последний элемент (n – k + 1 способ).

= n × (n - 1) ×...× (n – k + 1) =

=

По определению: 0! = 1.

Пример 2.

Сколько трех, четырех, пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0, 1, 2, 3, 4), если

1. повторения цифр запрещены;

2. повторения цифр разрешены.

Решение.

1. Рассмотрим первый набор чисел.

Если повторения запрещены, то каждое число – размещение из соответствующего количества цифр, следовательно, количество всех трех, четырех, пятизначных чисел равно:

= .

Если повторения разрешены, то воспользуемся принципом умножения: каждое действие (задание очередной цифры) можно выполнить пятью способами, т.е.

трехзначных чисел всего: 5 × 5 × 5 = 125;

четырехзначных чисел всего: 5 × 5 × 5 ×5 = 625;

пятизначных чисел всего: 5 × 5 × 5 × 5× 5 = 3125.

Сумма всех равна: 3875.

2. Рассмотрим второй набор чисел.

Нуль не может стоять первой цифрой в числе.

Если повторения запрещены:

количество трехзначных чисел равно: 4 × 4 × 3 = 48;

количество четырехзначных чисел равно: 4 × 4 × 3 × 2 = 96;

количество пятизначных чисел равно: 4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 96.

Всего 240 чисел.

Если повторения разрешены:

трехзначных чисел всего: 4 × 5 × 5 = 100;

четырехзначных чисел всего: 4 × 5 × 5 × 5 = 500;

пятизначных чисел всего: 4 × 5 × 5 × 5 × 5 = 2500.

Сумма равна: 300.