Лекция 10. Верхняя и нижняя грани частично упорядоченного множества.

Пусть – частично упорядоченное множество, элемент хМ называется верхней гранью множества А, если (аА): а х. Элемент yM называется нижней гранью множества А, если (аА): а y.

Наименьшая из верхних граней, если она существует, называется точной верхней гранью и обозначается sup A.

Наибольшая из нижних граней, если она существует, называется точной нижней гранью и обозначается inf A.

Примеры.

А = (0,1), sup A = 1, inf A = 0.

Верхние грани: 3, , , 10⁶ ... .

Нижние грани: -1, -, -1000 ... .

Определение. Если sup A (inf A) существует, то эта грань единственная.

Доказательство.

Пусть х₁ ≠ х₂ и х₁ = sup A, х₂ = sup A,  х₁  х₂ и х₂  х₁  х₁ = х₂ в силу антисимметричности всякого отношения порядка.

Некоторые свойства точных верхней и нижней граней множества из двух элементов:

1. sup (a, a) = inf (a, a) = a; - очевидно

sup (a, b) = sup (b, a), - очевидно

inf (a, b) = inf (b, a); - очевидно

2. sup (a, inf (a, b)) = a, - очевидно

3. inf (a, sup(a, b)); - очевидно

4. sup (sup (a, b), c) = sup (a, sup (b, c)),

inf (inf (a, b), c) = inf (a, inf (b, c));

Доказательство свойства 4.

Обозначим: inf (b, c) = v, inf (a, v) = s, inf (a, b) = u, inf (u, c)= t. Имеем:

 t - нижняя грань множества (b, c)  v и t – нижняя грань множества (v, a)  t  s. Повторив те же самые рассуждения относительно s, получим s  t. Тогда t = s.

Решетки.

Говорят, что множество М, на котором заданы две бинарные операции (бинарная операция – это функция двух переменных, которая каждой упорядоченной паре (a, b)MM ставит в соответствие элемент cM), обозначаемые:  и , называемые «умножение» и «сложение», образует решетку, если эти бинарные операции удовлетворяют следующим четырем аксиомам:

1. Идемпотентность -

2. Коммутативность -

3. Ассоциативность -

4. Законы поглощения -

Решетка называется дистрибутивной, если выполняются законы дистрибутивности:

Ограниченные решетки.

Если в решетке существует элемент 0, который называется нулем, такой, что (аM), a0 = 0, то этот элемент называется нижней границей решетки, если существует элемент 1, который называется единицей, такой, что (аM), a1 = 1, то этот элемент называется верхней границей решетки. Решетка с нулем и единицей называется ограниченной.

Теорема.

Если 0,(1) существуют, то они единственны.

Доказательство.

Пусть , , тогда

Теорема доказана. Мы воспользовались аксиомой коммутативности.

Теорема.

Доказательство.

Пусть

(закон поглощения)

Теорема доказана.

Следствия: т.к.

т.к. .

Решетки с дополнением.

В ограниченной решетке элемент называется дополнением элемента a, если, . Решетка называется решеткой с дополнением, если у каждого элемента решетки есть дополнение. Дополнение может не существовать или может быть их несколько.

Для ограниченной дистрибутивной решетки справедливы следующие утверждения:

1. Дополнение единственно;

Доказательство.

Пусть х ≠ y – два разных дополнения элемента а. Тогда

,

 x=y.

2. Справедлив закон инволютивности: = а;

Доказательство.

3. Границы дополняют друг друга: .

Доказательство.

4. и (законы Де Моргана)

Доказательство.

Докажем, что . Для этого нужно доказать, что

и

.

Теорема доказана.