Отношения порядка.

Определение. Всякое антисимметричное и транзитивное бинарное отношение , называется отношением порядка на множестве М. Отношение порядка может быть рефлексивным, тогда оно называется отношением нестрогого порядка. Если отношение порядка антирефлексивно, оно называется отношением строгого порядка. Отношение порядка может быть полным, тогда оно называется отношением полного или линейного порядка. Отношение порядка может не обладать свойством полноты, тогда оно называется отношением частичного порядка. Отношение строгого порядка обозначается <, нестрогого - .

Примеры обозначений.

(a, b)  , a ≤ b; (a, b) < , a < b.

Если упорядоченная пара (a, b) принадлежит отношению < или , элементы а и b называются сравнимыми между собой. Множество М, на котором определено частичное отношение порядка, называется частично упорядоченным. Если на множестве М задан полный порядок, его называют вполне упорядоченным (линейно упорядоченным множеством).

По самому определению полного порядка во вполне упорядоченном множестве любые два различных элемента сравнимы между собой.

Пример 1.

Рассмотрим множества R, Q, Z, N. Отношение сравнения < на множествах определяет полный строгий порядок с точки зрения обычного сравнения чисел.

Например, (2, 5) <, (3, 3) <.

Пример 2.

Отношение сравнения  на множествах R, Q, Z, N определяет полный нестрогий порядок, с точки зрения обычного сравнения чисел, (2, 5) ,

(3, 3) .

Пример 3.

Отношение включения  - определяет нестрогий частичный порядок на булеане , так как не всякие два множества можно сравнить с точки зрения отношения включения.

Пример 4.

На множестве натуральных чисел N введем следующее отношение порядка: m  n  m делит n. Это – нестрогий частичный порядок: 1  7,

4  12, 6  6, 2  6, (2, 7) , (9, 12) .

В случае конечных упорядоченных множеств отношение порядка можно изобразить с помощью диаграммы. На ней элементы пишут в кружке, и от кружка с элементом а идет стрелка к кружку с элементом b, если a < b

(a  b).

Пример.

A = {2, 3, 4, 6, 8, 9}, a b  a делит b.

Рис.7

Мы определили нестрогий порядок, поэтому стрелки замыкаются на кружках (петля); если бы порядок был строгий, то петли бы исчезли

(a < b  a делит b и a ≠ b).Отношение порядка транзитивно, поэтому от элемента 2 к элементу 8 стрелка не проводится.

Экстремальные элементы в упорядоченном множестве.

Пусть М – частично упорядоченное множество. Элемент xM называется минимальным элементом этого множества, если во множестве

М не существует элемента а < x. Элемент yM называется максимальным элементом этого множества, если в нем не существует элемента a>y. Минимальный и максимальный элементы в упорядоченных множествах могут существовать, а могут и не существовать, их может быть несколько.

Пример 1.

M = {1, 2 ...} = N; минимальный элемент - это 1, максимальные элементы отсутствуют (порядок – обычное сравнение чисел).

Пример 2.

M₁ = [0; 1], M₂ = (0; 1], M₃ = [0; 1], M₄ = (0; 1).

В M₁ минимальный элемент это 0, максимальный элемент это 1;

В M₂ минимального элемента нет, максимальный элемент это 1;

В M₃ минимальный элемент это 0, максимального элемента нет;

В M₄ минимального элемента нет, максимального элемента нет.

(порядок – обычное сравнение чисел).

Пример 3.

М = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Отношение порядка – это отношение включения. В этом множестве три минимальных элемента не сравнимых между собой – множества {1, 2},

{1, 3}, {2, 3} . Максимальный элемент один – множество {1, 2, 3}.

Пример 4.

М = {2 ,3, 4 ... }, a < b  a делит b и a ≠ b.

Максимального элемента нет, а минимальные элементы образуют множество простых чисел.

Пример 5.

М = N, a < b  a - четно, b – нечетно, например: 2 < 1, 2 < 7, 6 < 3,

6 < 11. Определен строгий частичный порядок, в котором все четные числа – минимальные элементы не сравнимые между собой, все нечетные элементы – максимальные элементы, не сравнимые между собой.

Пример 6.

Покажем, как на диаграмме выглядят минимальный и максимальный элементы в случае множества: М = {2, 3, 4, 6, 7, 12, 16, 18}, a < b  a делит b и a ≠ b.

Минимальные элементы – 2, 3, 7. Максимальные элементы – 7, 12, 16 18. Из этого примера видно, что один и тот же элемент может быть одновременно и максимальным, и минимальным. В этом случае, его невозможно сравнить ни с каким другим элементом данного множества.

Теорема.

Во всяком непустом конечном, частично упорядоченном множестве М существует хотя бы один минимальный элемент.

Доказательство (от противного).

Допустим, что в М нет минимальных элементов. Пусть |M| = n, выберем произвольный элемент аМ, обозначим его через х₁. Так как х₁ – не минимальный элемент, то bМ, (обозначим b через x₂), такой,

что x₂ < х₁. Далее сМ, (обозначим через с х₃), такой, что x₃ < x₂ < x₁. Продолжим перебор элементов множества. Перебрав все, получим цепочку:

x_n < x_n-1 < ... < x₂ < x₁. Так как x_n – не минимальный элемент, то (k) x_k < x_n,

k < n. Таким образом, x_k < x_n < x_n-1 < ... < x_k < ... < x₁, но отношение порядка транзитивно, получаем, что x_k < x_k, что противоречит антирефлексивности строгого порядка.

Теорема доказана.

Определение. Пусть M – частично упорядоченное множество. Элемент хМ называется наименьшим элементом множества М, если (аМ): а х. Элемент yM – наибольшим элементом множества М, если (аМ): а y. По определению наименьший (наибольший) элемент сравним с каждым элементом множества М

Теорема.

Если во множестве М существует наименьший (наибольший) элемент, то он единственный.

Доказательство.

Пусть х₁ ≠ х₂ – два наименьших элемента множества. По определению наименьшего элемента х₁  х₂, (х₁ – наименьший элемент), а также х₂  х₁ –

(х₂ – наименьший элемент)  х₁ = х₂ в силу антисимметричности любого отношения порядка.

Теорема доказана.

Примеры.

1.  и М – являются наименьшим и наибольшим элементами булеана 2^М, упорядоченного по включению.

2. Множество N имеет наименьший элемент 1, наибольшего элемента нет.

3. Множество R – не имеет ни наибольшего элемента, ни наименьшего элемента.

4. В множестве В = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

{1, 2, 3} - наибольший элемент, наименьшего элемента нет.

Теорема.

Если М вполне упорядоченное множество и элемент хМ – минимальный элемент множества М (yМ – максимальный элемент множества М), то х – наименьший элемент М (y – наибольший элемент М).

Доказательство.

Во вполне упорядоченном множестве любые два элемента сравнимы между собой  по определению минимального элемента (аМ): а  х  х – наименьший элемент.

Теорема доказана.

Теорема.

Частично упорядоченное множество М является вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество содержит наибольший (наименьший) элемент.

Доказательство.

Пусть а и b  М, по условию множество {a, b} содержит наименьший элемент  либо a b, либо b a  а и b сравнимы между собой  множество вполне упорядоченно.

Теорема доказана.